ВВЕДЕНИЕ 3
1 Цель работы 5
2 Постановка задачи 7
2.1 Смешанная краевая задача 7
2.2 Вывод интегрального тождества 8
2.3 Метод прямых на основе МКЭ 9
3 Алгоритм формирования системы МКЭ 14
3.1 Алгоритм вычисления матрицы M(t, u) и вектора Ф(/,и) 14
3.2 Алгоритм вычисления матрицы жесткости 17
4 Квадратурные формулы типа Гаусса и Лобатто 21
5. Тестовые вычисления 25
5.1 Тест 1. Линейная задача 25
5.2 Тест 2. Линейная задача 28
5.3 Тест 3. Линейная задача 31
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 33
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 35
ПРИЛОЖЕНИЕ. Код программы
Процессы теплопередачи играют исключительно большую роль как в природе, так и в современной технике. Исследования показывают, что теплопередача является сложным процессом. При изучении этот процесс расчленяют на простые явления. Частным случаем является теплопроводность — перенос тепла (или внутренней энергии) при непосредственном соприкосновении тел (или частей одного тела) с различной температурой.
В настоящее время практика непрестанно выдвигает перед учением о теплообмене новые и разнообразные задачи, требуя от инженера умения самостоятельно и творчески использовать основные законы и методы теплопередачи. Значительно расширилась возможность прикладного использования теории теплопроводности в связи со все более широким внедрением в инженерную практику быстродействующих ЭВМ. Многие задачи, еще недавно решавшиеся только узкими специалистами в области теории теплообмена, могут быть решены в условиях производства. При этом инженер должен достаточно глубоко понимать физические особенности рассматриваемых процессов и уметь математически описать исследуемое явление.
С одной стороны эта область науки достаточно хорошо разработана, получены надежные данные, которые можно использовать при решении тех или иных конкретных задач, возникающих при проектировании и эксплуатации теплотехнического оборудования.; с другой, - проблемная, поскольку использование новых материалов, расширение диапазона действия теплотехнических устройств требует создание новых, более надежных методов расчета.
За последние десятилетия интерес к математическому моделированию сложных физических процессов и необходимость в нем заметно возросли. Этому в значительной мере способствует прогресс в развитии компьютер-
ной техники, численных методов решения всех типов задач математической физики и реализуемых на этой основе математических моделей. Любая современная наукоемкая технология так или иначе использует результаты вычислительных экспериментов. В ведущих научных центрах развитых стран интенсивно разрабатываются новые численные методы, алгоритмы и пакеты прикладных программ для решения соответствующих классов задач.
В рамках выпускной квалификационной работы были выведены расчетные формулы и разработана программная реализация в среде Mat Lab метода прямых на основе конечных элементов произвольного порядка точности для решения уравнения параболического типа
Данный метод был тщательно изучен, в частности, получены расчетные формулы вычисления пространственного оператора схемы МКЭ, матрицы масс и их производных Гато, реализованы для них функции в MatLab. Также были дополнительно написаны ряд программ в MatLab для тестовых вычислений:
1. функции для определения исходных данных каждой тестовой задачи;
2. функции для вывода графиков погрешностей решений тестовых задач с известным точным решением и определения порядка точности метода.
задач с неизвестным точным решением.
Результаты численного исследования на основе проведенных тестов с убедительностью демонстрируют точность решения МКЭ. На примере каждого теста мы увидели, что погрешность между приближенными решениями и точными является достаточно малой, следовательно метод конечных элементов является эффективным и оптимальным методом для решения нелинейных краевых задач. Все цели, поставленные во введении данной работы были полностью достигнуты.
