Введение 3
Глава 1. Обзор литературы 5
1.1. Задача Коши 5
1.2. Метод рядов Тейлора 5
1.3. Явные методы Рунге-Кутты 6
1.4. Область устойчивости 10
1.5. Явные методы повышенного порядка точности 11
Глава 2. Стабилизация методов повышенного порядка точности 16
2.1. Подход к стабилизации 16
2.2. Функции устойчивости 17
2.3. Результаты оптимизации 22
Глава 3. Решение тестовых задач 29
3.1. Исследование устойчивости разностных схем 29
3.2. Исследование сходимости 35
Заключение 39
Список литературы 40
Купить

Задачей Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений описываются разные процессы в науке и технике. Только в малом числе возможных случаев можно получить ее аналитическое решение. В связи с этим разработка и исследование численных методов решения задачи Коши в настоящее время являются актуальными в вычислительной математике.
Необходимость в решении задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений возникает и при дискретизации уравнений в частных производных методом прямых. В этом случае становится особенно актуальной проблема устойчивости метода. Как правило, число неизвестных в таких системах совпадает с числом узлов сетки, так что они имеют большую размерность. В связи с этим, для подобных систем предпочтительно использовать явные методы, более простые и менее затратные в реализации, но, как правило, условно устойчивые.
В Главе 1 приведен обзор литературы: рассматриваются некоторые численные методы решения задачи Коши, а именно: метод рядов Тейлора, явные методы Рунге-Кутты. Рассматриваются такие понятия, как порядок точности и число этапов метода и их зависимость от параметров метода. Рассмотрена процедура построения методов. Приводятся определения функции устойчивости и области устойчивости. Приводятся формулы для методов повышенного порядка точности, построенных с использованием производных правых частей однородного дифференциального уравнения. Также в этой главе поставлены цель работы и задачи, необходимые для достижения этой цели.
В Главе 2 рассматриваются явные методы Рунге-Кутты повышенного порядка точности. Описывается выбранный подход к стабилизации методов путем максимизации площади области устойчивости или ее протяженности по отрицательной вещественной полуоси. Определяются входные параметры. Приводится наглядное сравнение функций устойчивости обычных методов и методов повышенного порядка точности. Показывается, какие параметры выбираются в качестве входных. Проводится решение задач максимизации и для визуального сравнения приводятся графики границ областей устойчивости, соответствующих оптимальным параметрам, и значениям параметров, указанным в литературе.
В Главе 3 при решении тестовых задач показано, что предложенные подходы к максимизации площади и протяженности области устойчивости действительно позволяют улучшать практическую устойчивость методов. При исследовании сходимости построенных разностных схем показывается, что погрешность численного решения уменьшается при измельчении сетки.
Купить