Введение 3
Глава 1. Обзор литературы 5
1.1. Задача Коши 5
1.2. Метод рядов Тейлора 5
1.3. Явные методы Рунге-Кутты 6
1.4. Область стойчивости 10
1.5. Явные методы повышенного порядка точности 10
Глава 2. Трехэтапные методы повышенного порядка точности 13
2.1. Случай неавтономного уравнения 13
2.2. Случай автономного уравнения 14
2.3. Функция устойчивости и выбор оптимальных параметров 15
Глава 3. Решение тестовых задач 19
Заключение 24
Список литературы 25
Купить

Задачей Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений описываются разные процессы в науке и технике. Получить аналитическое решение такой задачи можно только в малом числе возможных случаев. В связи с этим задача разработки и исследования численных методов решения задачи Коши является одной из наиболее главных в вычислительной матема­тике.
Сложность получения аналитического решения возникает и при дискре­тизации уравнений в частных производных методом прямых. В этом случае особенно актуальной становится проблема устойчивости метода. Как правило, число неизвестных в таких системах совпадает с числом узлов сетки, так что они имеют большую размерность. В связи с этим, для подобных систем пред­почтительно использовать явные методы, более простые и менее затратные в реализации, но, как правило, условно устойчивые.
В Главе 1 рассматриваются некоторые численные методы решения задачи Коши, а именно: метод рядов Тейлора, явные методы Рунге-Кутты. Рас­сматриваются такие понятия, как порядок точности и число этапов метода и их зависимость от набора параметров метода. Рассмотрена процедура по­строения методов. Приводятся определение функции устойчивости и области устойчивости. Приводятся формулы для методов повышенного порядка точ­ности.
В Главе 2 рассматриваются явные методы Рунге-Кутты повышенного по­рядка точности. Выводятся системы условий порядка метода трех этапов для случаев неавтономного и автономного уравнений. Определяются вход­ные параметры. Производится наглядное сравнение функций устойчивости обычного метода и метода повышенного порядка точности. Предлагается осу­ществлять выбор входных параметров таким образом, чтобы площадь области устойчивости оказалась наибольшей.
В Главе 3 при решении тестовых задач показано, что предложенный под­ход к максимизации площади области устойчивости действительно позволяет улучшать практическую устойчивость методов.
Купить