Введение 6
1 Описание базового численного метода 8
2 Конвективные члены 8
2.1 Модельное уравнение и начальные условия 8
2.1.1 Пространственные аппроксимации 9
2.1.2 Временные аппроксимации 10
2.2 Анализ результатов тестов модельных задач 11
2.2.1 Прямоугольный импульс 11
2.2.2 Полупериод синуса в степени m 14
2.3 Сходимость методов 16
2.3.1 Прямоугольный импульс 16
2.3.2 Полупериод синуса в степени m 17
2.4 Выводы по разделу 22
3 Диффузионные члены 22
3.1 Аппроксимации различных типов градиентов 23
3.1.1 Вычисление градиентов в центре ячейки 23
3.1.2 Вычисление касательных градиентов на грани ячейки 24
3.1.3 Вычисление нормальных градиентов на грани ячейки 25
3.2 Тестирование аппроксимаций на модельных задачах 27
3.2.1 Описание тестовых задач 27
3.2.2 Анализ точности вычисления градиентов в центре ячейки 28
3.2.3 Анализ точности вычисления касательных градиентов на грани
ячейки 30
3.2.4 Анализ точности вычисления нормальных градиентов на грани
ячейки 32
3.3 Тестирование аппроксимаций в задаче о вихре Тейлора-Грина 35
3.4 Выводы по разделу 36
4 Переходная функция 37
5 Расчеты с использованием новых численных методов 39
5.1 Однородная изотропная турбулентность 39
5.1.1 Постановка задачи 39
5.1.2 Анализ результатов 41
5.1.3 Выводы по задаче 43
5.2 Поперечная инжекция струи водорода в поток воздуха 43
5.2.1 Постановка задачи 43
5.2.2 Граничное условие «Инжектор» 46
5.2.3 Анализ результатов и выводы по задаче 47
Выводы 52
Список литературы 53
ПРИЛОЖЕНИЕ А. WENO5 в симметричной постановке 57
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Классическая схема WENO5 для МКО 58
ПРИЛОЖЕНИЕ В. Спектральный признак устойчивости 60
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Фурье-анализ ошибок 66
ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Тестирование граничного условия «Инжектор» 69
Задача расчёта выдува поперечной струи возникает при моделировании сверхзвуковой камеры сгорания. Согласно эксперименту [1], структура этого течения содержит, помимо пограничного слоя, трёхмерной ударной волны и диска Маха, слои смешения инжектируемой нестационарной трёхмерной струи, рециркуляционные зоны и подковообразный вихрь. В таких условиях применение методов, основанных на подходе Рейнольдса, ненадежно. Качественный расчёт выдува поперечной струи требует прямого описания крупномасштабной турбулентности с помощью вихреразрешающего метода. Изучению и реализации методов такого класса и посвящена данная работа. Результаты работы будут использованы в Лаборатории «Исследования и разработки физических моделей и численных технологий описания режимов горения в двигателях летательных аппаратов» ЦАГИ.
Рассмотрим основные проблемы, связанные с применением вихреразрешающих подходов. Согласно [2], диссипативные свойства разностных схем играют существенную роль при использовании методов семейства LES. В случае гибридных методов [3] (DES, DDES) возникает проблема: используемые в LES центральные разности оказываются неустойчивыми в пограничных слоях в режиме RANS, а противопоточные схемы, характерные для RANS, излишне диссипативны в области LES. Они порождают избыточную схемную вязкость, которая разрушает мелкие вихри [4]. В результате точность описания турбулентного переноса может существенно упасть. Одним из решений данной проблемы является использование гибридных численных схем, которые становятся противопоточными в RANS-областях и центрально-разностными в LES. Однако не все центрально-разностные схемы дают устойчивое решение. В [2] для выбора численной схемы предлагается проводить расчёт вырождения однородной изотропной турбулентности без подсеточной модели.
Ещё одной проблемой корректного использования вихреразрешающих (гибридных) подходов является калибровка констант модели турбулентности (в данной работе рассматриваются модели, основанные на гипотезе Буссинеска, то есть, использующие подсеточную вязкость). Калибровка констант также, как правило, производится в задаче о вырождении однородной изотропной турбулентности. При этом должна быть обеспечена правильная скорость затухания кинетической энергии турбулентности и эволюция формы энергетического спектра. Заметим, что оптимальные значения констант зависят от численного метода. Однако при использовании слабодиссипативных схем и «хороших» подсеточных моделей, результат не должен зависеть от шага сетки, если он достаточно мал. Стоит также отметить, что значение констант для пристенных течений может существенно отличаться, если выбрана недостаточно универсальная подсеточная модель.
Аппроксимация диффузионных членов в вихреразрешающем расчете тоже даёт вклад в точность получаемого решения. В [5] рассмотрены расчёты вихря Тейлора-Грина при числах Рейнольдса выше 1000 — т.е., в ситуации, когда шаг сетки существенно превышает микромасштаб Колмогорова. Показано, что недооценка скорости диссипации тем меньше, чем выше порядок центральных разностей, применяемых для расчёта, в том числе, и диффузионных членов. Таким образом, уточнение центрально-разностных схем целесообразно для вихреразрешающих расчётов. Эти результаты обусловили изучение схем высокого порядка с точки зрения Фурье-анализа, анализа сходимости и спектрального анализа.
Материалы работы докладывались на 4 всероссийских конференциях: Всероссийская конференция «Вычислительный эксперимент в аэроакустике» (CEAA 2018, г. Светлогорск), Научно-техническая конференция ЦАГИ в пос. Володарского 2019 г, Научная конференция МФТИ 2017 и 2018 гг. По материалам работы принята к публикации статья в журнале «Математическое моделирование».
В работе изучены и реализованы вихреразрешающие методы на основе модели турбулентности SST, которые позволили провести расчёт поперечного выдува струи в сверхзвуковой набегающий поток. В результате работы можно сделать следующие выводы:
1. При соответствующем выборе схемы движения по времени центрально-разностные аппроксимации уравнения переноса могут быть устойчивыми и обеспечивать высокий порядок сходимости по шагу расчётной сетки.
2. Схемы аппроксимации градиентов повышенного порядка точности, используемые в диффузионных членах уравнений, позволяют снизить уровень ошибки по сравнению с базовыми методами 2 порядка точности. В прямом численном моделировании вихря Тейлора-Грина уточнение соответствует измельчению сетки в 1.5 раза в каждом направлении.
3. Для выдерживания протяжённого инерционного интервала в задаче о распаде изотропной турбулентности конвективные члены рекомендуется аппроксимировать комбинированной схемой с переходной функцией [23]. При этом порядок центрально-разностной схемы (2, 4 либо 6) играет второстепенную роль, а модель подсеточных напряжений, напротив, становится обязательным элементом метода.
4. Расчёты задачи о поперечной инжекции струи водорода в поток воздуха показали, что с новым численным методом длина отрывной зоны перед инжектором согласуется с экспериментальной с точностью 10%, в то время как с базовым методом наблюдалось 2.8-кратное её завышение; глубина проникновения водорода по обоим методам имеет ошибку менее 10%, при этом расчёт по новому методу позволяет воспроизвести более мелкомасштабные элементы в структуре пламени.
Дальнейшие исследования могут быть связаны с переходом к дуальному шагу по времени и с расширением круга физических задач, решённых с новым методом.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
