📄Работа №77377
Тема: РЕАЛИЗАЦИЯ МКЭ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА В MATLAB
Характеристики работы
Тип работы
Дипломные работы, ВКР
Предмет
Математика
Объем:
46 листов
Год:
2017
Просмотров:
320
4360
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Смешанная краевая задача 6
1.1 Интегральное тождество 6
1.2 Определение схемы МКЭ 7
1.3 Система уравнений МКЭ 8
1.4 Метод Ньютона 10
2 Алгоритм вычисления Fи F0 для схемы МКЭ 11
2.1 Алгоритм вычисления F 11
2.1.1 Алгоритм сборки вектора F (вклад элементов) 12
2.1.2 Алгоритм вычисления F' 15
2.2 Алгоритм вычисления F0 15
2.2.1 Алгоритм сборки матрицы K(вклад элементов) 17
2.2.2 Алгоритм вычисления K' 18
3 Ортогональные полиномы, квадратуры типа Гаусса и Лобатто 20
3.1 Ортогональные полиномы 20
3.2 Квадратурные формулы типа Гаусса и Лобатто 22
4 Результаты тестовых расчетов 25
4.1 Тестовая задача 1 25
4.2 Тестовая задача 2 28
4.3 Тестовая задача 3 31
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 33
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 35
ПРИЛОЖЕНИЕ. Код программы
1 Смешанная краевая задача 6
1.1 Интегральное тождество 6
1.2 Определение схемы МКЭ 7
1.3 Система уравнений МКЭ 8
1.4 Метод Ньютона 10
2 Алгоритм вычисления Fи F0 для схемы МКЭ 11
2.1 Алгоритм вычисления F 11
2.1.1 Алгоритм сборки вектора F (вклад элементов) 12
2.1.2 Алгоритм вычисления F' 15
2.2 Алгоритм вычисления F0 15
2.2.1 Алгоритм сборки матрицы K(вклад элементов) 17
2.2.2 Алгоритм вычисления K' 18
3 Ортогональные полиномы, квадратуры типа Гаусса и Лобатто 20
3.1 Ортогональные полиномы 20
3.2 Квадратурные формулы типа Гаусса и Лобатто 22
4 Результаты тестовых расчетов 25
4.1 Тестовая задача 1 25
4.2 Тестовая задача 2 28
4.3 Тестовая задача 3 31
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 33
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 35
ПРИЛОЖЕНИЕ. Код программы
📖 Аннотация
Работа посвящена программной реализации метода конечных элементов (МКЭ) произвольного порядка точности для решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка с краевыми условиями первого или третьего рода. Актуальность исследования обусловлена тем, что нелинейные ОДУ широко применяются для моделирования процессов в механике, физике, биологии и экономике, однако их точное решение редко достижимо, что требует разработки эффективных численных методов. В работе получена слабая формулировка задачи для смешанных краевых условий, определены пространства решений и тестовых функций МКЭ, а также построена схема с численным интегрированием на основе квадратурных формул Гаусса и Лобатто. Разработаны алгоритмы формирования системы МКЭ и приближенного вычисления производной Гато оператора схемы. В среде MATLAB создан и отлажен комплекс программ, включающий функцию для решения тестовых задач с известным точным решением, позволяющую определить порядок точности метода в норме L2(a,b) в зависимости от размера элемента и степени полинома, а также функцию для визуализации решения и его производной в задачах без точного решения. Результаты тестовых расчетов на различных сетках подтвердили надежность и эффективность реализованных алгоритмов. Практическая значимость работы заключается в возможности использования разработанного программного обеспечения для численного моделирования широкого класса нелинейных физических и технических процессов, описываемых краевыми задачами для ОДУ второго порядка.
📖 Введение
Дифференциальные уравнения представляют собой математические модели различных процессов и явлений. Они обширно применяются на практике, в частности с целью описания переходных процессов.
Появлению нелинейных дифференциальных уравнений способствовали нелинейные задачи в механике. В этих уравнениях участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, которые рассматриваются как функции от времени. На данный момент нелинейные дифференциальные уравнения изучены намного меньше, чем линейные.
Нелинейные ОДУ - раздел математики, изучающий теорию и способы решения нелинейных уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обычные нелинейные дифференциальные) или нескольких аргументов (нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных).
Данные уравнения возникают во многих физических задачах: в механике, термоупругости, оптике, гидродинамике, аэродинамике, радиотехнике, электротехнике и др., но они ограничиваются не только физикой, но и другими областями науки: биологии, химии, экономики. Редко удается получить точное решение данных уравнений, поэтому решения находятся приближенно. Для поиска приближенного решения используют различные численные методы, например: метод конечных разностей, метод Галеркина и метод конечных элементов.
Целью выпускной работы является программная реализация в среде Mat Lab метода конечных элементов произвольного порядка точности для решения на конечном отрезке (a, b) уравнения
--d k(x,u, ) + k0(x,u, d--) = 0
dx dx/ dx/
при произвольном сочетании краевых условий первого рода
u(a) = ga; u(b) = дь,
или третьего рода
, / . . du(a)
—к a,u(a), —-—
X dx )
ko(b,u(b),^^u(b^- + аь (u(b))
dx
в граничных точках отрезка [a, b]. Здесь функции k = k(x,u,z), k0= = k0(x,u, z), aa = aa(u) и ab = ab(u) и чпс.1 a ga, gbявляются заданными.
Для выполнения этого задания необходимо:
1) На примере смешанных краевых условий получить слабую формулировку задачи; дать определение пространства решений и тестовых функций МКЭ; дать определение схемы МКЭ с численным интегрированием на основе квадратурных формул Гаусса и Лобатто.
2) Получить алгоритм формирования системы МКЭ.
3) Получить алгоритм приближенного определения производной Гато оператора схемы МКЭ.
4) Определить способ представления исходных данных о решаемой задаче и схеме МКЭ и программно реализовать пункты 4,5.
5) Написать и отладить программу решения схемы МКЭ, пользуясь необходимыми функциями MatLab.
6) Написать и отладить функцию решения тестовых задач и определения порядка точности метода.
7) Написать функцию решения задачи, точное решение которой неизвестно, представляя решение и его производную в графическом виде.
Также на основе написанной программы необходимо:
а) Решить ряд тестовых задач с известным точным решением и определить на основе вычислений порядок точности найденного решения и его производной в зависимости от размера элемента и степени полинома в норме Lfa, b).
б) Решить ряд задач, точное решение которых неизвестно.
Результатом работы является комплекс программ в среде MatLab, направленный на решение краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вышеуказанным методом, изученным в книгах [1,2,3]. Все написанные функции были тщательно про-тестированы.
Появлению нелинейных дифференциальных уравнений способствовали нелинейные задачи в механике. В этих уравнениях участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, которые рассматриваются как функции от времени. На данный момент нелинейные дифференциальные уравнения изучены намного меньше, чем линейные.
Нелинейные ОДУ - раздел математики, изучающий теорию и способы решения нелинейных уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обычные нелинейные дифференциальные) или нескольких аргументов (нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных).
Данные уравнения возникают во многих физических задачах: в механике, термоупругости, оптике, гидродинамике, аэродинамике, радиотехнике, электротехнике и др., но они ограничиваются не только физикой, но и другими областями науки: биологии, химии, экономики. Редко удается получить точное решение данных уравнений, поэтому решения находятся приближенно. Для поиска приближенного решения используют различные численные методы, например: метод конечных разностей, метод Галеркина и метод конечных элементов.
Целью выпускной работы является программная реализация в среде Mat Lab метода конечных элементов произвольного порядка точности для решения на конечном отрезке (a, b) уравнения
--d k(x,u, ) + k0(x,u, d--) = 0
dx dx/ dx/
при произвольном сочетании краевых условий первого рода
u(a) = ga; u(b) = дь,
или третьего рода
, / . . du(a)
—к a,u(a), —-—
X dx )
ko(b,u(b),^^u(b^- + аь (u(b))
dx
в граничных точках отрезка [a, b]. Здесь функции k = k(x,u,z), k0= = k0(x,u, z), aa = aa(u) и ab = ab(u) и чпс.1 a ga, gbявляются заданными.
Для выполнения этого задания необходимо:
1) На примере смешанных краевых условий получить слабую формулировку задачи; дать определение пространства решений и тестовых функций МКЭ; дать определение схемы МКЭ с численным интегрированием на основе квадратурных формул Гаусса и Лобатто.
2) Получить алгоритм формирования системы МКЭ.
3) Получить алгоритм приближенного определения производной Гато оператора схемы МКЭ.
4) Определить способ представления исходных данных о решаемой задаче и схеме МКЭ и программно реализовать пункты 4,5.
5) Написать и отладить программу решения схемы МКЭ, пользуясь необходимыми функциями MatLab.
6) Написать и отладить функцию решения тестовых задач и определения порядка точности метода.
7) Написать функцию решения задачи, точное решение которой неизвестно, представляя решение и его производную в графическом виде.
Также на основе написанной программы необходимо:
а) Решить ряд тестовых задач с известным точным решением и определить на основе вычислений порядок точности найденного решения и его производной в зависимости от размера элемента и степени полинома в норме Lfa, b).
б) Решить ряд задач, точное решение которых неизвестно.
Результатом работы является комплекс программ в среде MatLab, направленный на решение краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вышеуказанным методом, изученным в книгах [1,2,3]. Все написанные функции были тщательно про-тестированы.
✅ Заключение
В ходе выполнения выпускной квалификационной работы был реализован отлаженный комплекс программ в среде MatLab метода конечных элементов произвольного порядка точности для решения на конечном отрезке [a, b] уравнения
2k(x,u,^+N,UP = 0 dx dx/ dx/
при произвольном сочетании краевых условий первого
u(a) = ga, u(b) = gb,
или третьего рода
k0^b, u(b)
в граничных точка отрезка [а, Ь]. Также были написаны и отлажены функции:
1) Функция решения тестовых задач с известным точным решением и определения порядка точности метода на основе вычислений в зависимости от размера элемента и степени полинома в норме L2(a, b).
2) Функция решения задач, точное решение которых неизвестно и представления полученного решения и его производную в графическом виде.
Во время проведения работы было изучено большое количество теоретического материала, научных статей. На основе решений на различных сетках ряда тестовых задач, приведенных выше, можно сказать что метод конечных элементов является простым, гибким и оптимальным методом и позволяет наиболее эффективно решать нелинейные краевые задачи. Все цели были успешно достигнуты, тесты показали точность формул и доказали, что написанные программы являются надежными и эффективными.
2k(x,u,^+N,UP = 0 dx dx/ dx/
при произвольном сочетании краевых условий первого
u(a) = ga, u(b) = gb,
или третьего рода
k0^b, u(b)
в граничных точка отрезка [а, Ь]. Также были написаны и отлажены функции:
1) Функция решения тестовых задач с известным точным решением и определения порядка точности метода на основе вычислений в зависимости от размера элемента и степени полинома в норме L2(a, b).
2) Функция решения задач, точное решение которых неизвестно и представления полученного решения и его производную в графическом виде.
Во время проведения работы было изучено большое количество теоретического материала, научных статей. На основе решений на различных сетках ряда тестовых задач, приведенных выше, можно сказать что метод конечных элементов является простым, гибким и оптимальным методом и позволяет наиболее эффективно решать нелинейные краевые задачи. Все цели были успешно достигнуты, тесты показали точность формул и доказали, что написанные программы являются надежными и эффективными.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.