ВВЕДЕНИЕ 3
1 Метод конечных элементов 5
1.1 Схема метода конечных элементов для двумерной краевой задачи , , , , 5
2 Метод сопряженных градиентов для решения СЛАУ 7
3 Предобуелавливание для метода сопряженных градиентов 8
3.1 Метод Якоби 9
3.2 Метод SSOE 9
3.3 Метод декомпозиции области 9
3.4 Блочный метод Якоби 9
3.5 Блочный метод SSOR 9
4 Сравнение методов 11
4.1 Схема МКЭ для одномерной задачи е линейными конечными элементами 11
4.2 Схема МКЭ для одномерной задачи е квадратичными конечными элементами 14
4.3 Схема МКЭ для одномерной задачи е кубическими конечными элементами 18
4.4 Схема МКЭ для одномерной задачи е конечными элементами четвёртой
степени 21
4.5 Схема МКЭ для двумерной задачи 24
4.6 Анализ результатов 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 30
ПРИЛОЖЕНИЕ 31
Купить

Многие явления можно описать с помощью станционарных процессов. Однако решение стационарных задач зачастую не может быть найдено аналитически, В этих случаях применяют различные численные методы, сводя задачу к конечномерной с помощью некоторого метода дискретизации. Одним из таких методов дискретизации является метод конечных элементов.
Однако при требовании высокой точности к решению исходной задачи размер итоговой системы линейных уравнений может неограниченно расти. Это приводит к проблеме решения больших систем линейных уравнений.
Методы решения систем линейных уравнений делятся на две основных группы: прямые и итерационные. Последние представляют из себя крайне широкую группу и выбор наиболее оптимального из этой группы является важной и в то же время не тривиальной задачей. Важно отметить, что у одних и тех же методов может быть несколько вариантов реализации, что ещё больше затрудняет выбор наиболее оптимального метода.
Данная работа посвящена реализациям нескольких вариантов предобуславливания для метода сопряженных градиентов в МКЭ для граничных задач,
С одной стороны, работа не претендует на универсальность - полученные в ней сравнительные эффективности разных методов подойдут не для любой СЛАУ, С другой стороны, она является не такой специализированной, чтобы рассматривать только один вид системы и потому полученные оценки можно считать применимыми к классу систем линейных уравнений, В частности, в данной работе рассматриваются системы, построенные по схеме МКЭ для одномерных и двумерных краевых задач. Основным свойством таких систем является сильная разреженность.
Кроме того, в этой работе производится сравнение итерационных методов не только между собой, но и с прямым методом. За счёт этого можно рассмотреть актуальность использования итерационных методов. Также в данной работе производится сравнение различных реализаций алгоритмов, одни из которых учитывают разреженную структуру матриц, а другие нет,
В рамках данной работы выполнены следующие задачи:
• Реализованы алгоритмы сборки системы метода конечных элементов с численным интегрированием для одномерной и двумерной краевых задач,
• Реализован метод сопряженных градиентов
• Реализованы различные методы предобуславливания для метода сопряженных градиентов
• Проведено сравнение различных видов предобуславливания для метода сопряженных градиентов между собой и сравнение метода сопряженных градиентов с прямым методом решения СЛАУ,Все реализованные алгоритмы были написаны на языке программирования python с использованием пакетов numpy и scipy.
В перспективе, хотелось бы расширить класс итерационных методов, участвующих в сравнении и исследовать более подробно возможности оптимизации методов, в частности распараллеливание вычислений, где возможно,
В рамках работы рассматривались две краевые задачи. Первая - одномерная краевая задача Дирихле вида:— ('p(x)U (x))' = f (x), Vx Е (a,b)
u(a) = Ua,
u(b) = ub.
Вторая - аналогичная двумерная задача Дирихле в квадратной области вида:
— div(p(x)Vu(x)) = f (х), Vx Е (0,1) х (0,1) u(x) = 0, x Е Г, где p(x) - скалярная функция векторного аргумента, Г - граница области (0,1) х (0,1),


Купить