Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ СХЕМ РАЗРЫВНОГО МЕТОДА ГАЛЁРКИНА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Работа №77379
Тип работыДипломные работы, ВКР
Предметматематика
Объем работы50
Год сдачи2017
Стоимость4210 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено 9
Не подходит работа?

Узнай цену на написание

ВВЕДЕНИЕ 2
1 Постановка задачи 3
1.1 Исходная краевая задача 3
2 Пространства разрывных конечных элементов 4
2.1 Триангуляция области 4
2.2 Пространства конечных элементов 4
3 Построение сеточной схемы 5
3.1 Семейства HDG схем 5
3.2 Основная формулировка схемы 8
4 Вычисление дискретного градиента 9
5 Методы решения сеточных схем 11
5.1 Метод решения схемы для значения параметра r= 0 11
5.2 Метод решения схемы для значения параметра r= 1 15
6 Численные эксперименты 26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 34
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 35
ПРИЛОЖЕНИЕ А 36
ПРИЛОЖЕНИЕ Б 40
ПРИЛОЖЕНИЕ В

При решении начально-краевых задач для уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией возникают проблемы, связанные с потерей устойчивости сеточных схем. Одним из способов решения таких задач может быть применение для их решения известных неявных монотонных противопотоковых схем или монотонных недивергентных схем А.А.Самарского [1, 2]. Такие схемы являются абсолютно устойчивыми, однако обладают невысокой точностью и обладают неприятным свойством, которое часто называют "размазыванием" пограничных слоёв или разрывов. Актуальной является задача построения устойчивых схем, при этом обеспечивающих высокую точность даже на негладких решениях задач и не требующих больших вычислительных затрат.
Большую популярность при решении указанных выше задач приобрели разрывные методы Галёркина (Discontinuous Galerkin Methods, DG - методы). DG-схемы основаны на пространствах разрывных конечных элементов и являются локально и глобально консервативными. По сравнению со стандартной схемой МКЭ такого же порядка точности система алгебраических уравнений DG-схем имеет существенно более высокую размерность, что является недостатком метода. Для его преодоления в схемы МКЭ вводится новая неизвестная, соответствующая сужению решения и на границы конечных элементов. Это приводит к гибридизированным схемам.
Гибридизированные схемы разрывного метода Галёркина (Hybridized Galerkin Schemes, HDG - схемы), построенные на основе смешанной формулировки задачи, имеют много общего с гибридизированными смешанными схемами МКЭ и также формируются в терминах приближений к и, q, X, где Л - сужение и на границы элементов.
В настоящей работе мы показываем, что использование таких схем позволяет уменьшить количество вычислений за счёт исключения части неизвестных в сеточных уравнениях. Здесь приводятся результаты численных экспериментов. Реализация экспериментов осуществлена с помощью пакета прикладных программ MATLAB.


Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании студенческих
и аспирантских работ!


Построенные в работе схемы разрывного гибридизированного метода Галёркина с элементами RT0по пространственной переменной как с кусочно постоянными (г = 0, двухслойная схема), так и кусочно линейными разрывными элементами (г = 1, трёхслойная схема), показали абсолютную устойчивость.
Проведённые в работе исследования выявили, что двухслойная схема разрывного метода Галёркина с кусочно постоянными по времени элементами имеет точность О(т + h).Сеточная схема с кусочно линейными элементами по временной переменной имеет точность решения порядка О(т2+ h).
Показано, что рассматриваемые классы схем допускают экономичное решение за счет исключения части неизвестных из системы уравнений. При решении двухслойной схемы в пространственно одномерном случае случае возникает необходимость в решении трёхточечного уравнения, что не вызывает больших трудностей. В результате определяется часть неизвестных в граничных точках элементов. При решении трёхслойной схемы при нахождении части неизвестных в граничных точках элементов возникает необходимость в решении блочно трёхдиагональной системы уравнений с размерами блоков 2 х 2, что также не вызывает особых сложностей.
Таким образом, рассматриваемые в работе схемы могут быть использованы при решении широкого нестационарных задач диффузии с доминирующей конвекцией.



[1] Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем.— М.:Наука,— 1971.
[2] Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы.— М.:Наука,— 1989.
[3] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.— М.: Наука,— 1973
[4] Р. З. Даутов, Е. М. Федотов // Дифференциальные уравнения.— №7,— Казань, 2016.
[5] Р. З. Даутов, Програмная реализация метода конечных элементов в MATLAB. Казань, 2016.
[6] Роженко А. И. Искусство верстки в LaTeX’o.— Н.:ИВМиМГ СО РАН,— 2005.
[7] Лазарев Ю. Ф. Начала программирования в среде MatLAB. Учебное пособие.— К. : НТУУ "КПИ2003.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.




© 2008-2022 Cервис помощи студентам в выполнении работ