Тема: Параболическое уравнение с пространственным оператором

Быстрое развитие и непрерывное совершенствование вычислительной техники позволяет использовать аппарат математического моделирования в самых разных областях современной науки. В связи с этим возникают математические модели, разработка теории которых находится на начальной стадии. При использовании новых математических моделей для проведения вычислительного эксперимента нужно быть уверенным, что задача поставлена корректно, то есть исходных данных достаточно, они не противоречат друг другу, решение исследуемой задачи существует и единственно.
Данная работа посвящена исследованию такого типа вопросов, а именно: исследованию вопросов существования и единственности начально-краевой задачи для параболического уравнения, пространственный оператор которого нелинейно зависит от градиента решения, от нелокальной (интегральной) характеристики градиента решения. Такого вида уравнения возникают в теории пластичности, упругости, а также в биологии при описании процессов диффузии бактерий (см. [1], [2]). В работах [3], [4] достаточно подробно исследованы математические модели и приближенные методы их решения для параболического уравнения с нелокальными операторами, зависящими от самого решения. Наличие нелокальной зависимости от градиента решения существенно усложняет задачу. В работах [5], [6] эта проблема была решена для параболического уравнения с пространственным оператором вида Bu= — «(||Vu|| J2(Q)) Au, где Au— оператор Лапласа.
Цель настоящей работы — исследование корректности начально-краевой задачи для параболического уравнения с пространственным оператором более общего вида
Bu = —a(||Vu||L2(Q))2Au,
где A— ограниченный, сильно монотонный оператор.
Опишем основные результаты, полученные в ходе работы.
Работа состоит из трех глав.
Первая глава, содержащая четыре параграфа, посвящена постановке задачи, приводятся используемые в дальнейшем обозначения, доказывается ряд вспомогательных результатов, дается определение обобщенного решения рассматриваемой задачи.
Вторая глава посвящена исследованию существования обобщенного решения рассматриваемой задачи. Теорема существования доказана в предположении сильной монотонности, ограниченности и потенциальности пространственного оператора. Доказательство проводится с помощью метода полудискретизации. В процессе доказательства получены априорные оценки полудискретных решений в нормах соболевских пространств и пространств Лебега. На завершающем этапе доказательства с помощью предельного перехода в интегральном тождестве устанавливается сходимость к обобщенному решению задачи.
В третьей главе исследуется единственность обобщенного решения рассматриваемой задачи. Теорема единственности доказана также в предположении сильной монотонности, ограниченности и потенциальности пространственного оператора.
В заключении обсуждаются результаты проведенной работы
Купить

В процессе работы были доказаны две теоремы — теорема существования обобщенного решения и теорема единственности обобщенного решения начально-краевой задачи для нелинейного параболического уравнения с нелокальным пространственным оператором вида Au= —div(k(x, Ku(x, t))).
Купить