Введение 2
ГЛАВА I. Понятие о гиперболическом уравнении 6
1. Общие понятия 6
2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными 8
3. Задача с данными на характеристиках (задача Гурса). 12
4. Общая задача Коши для гиперболических уравнений.. 15
ГЛАВА II. Метод Римана для гиперболических уравнений 19
1. Задача Гурса 19
2. Формула Грина 25
3. Функция Римана 26
4. Задача Коши и ее решение по методу Римана 30
Глава III. Решение задач методом Римана. 35
Задача 1 38
Задача 2 42
Заключение 48
Список литературы
Купить

Исторически большинство математических моделей, в основе которых лежат дифференциальные уравнения в частных производных, бы¬ли разработаны для решения задач, описывающих физические процессы прежде всего в гидродинамике, аэромеханике и электродинамике. Именно поэтому в приложениях дифференциальные уравнения в частных производных получили название уравнений математической физики. В настоящее время с помощью таких уравнений моделируют процессы различной природы: физические, химические, биологические, экологические, экономические и др. Широкое применение методы математической физики на¬ходят и при решении инженерных задач.
Такая информационная емкость, или, как говорил А.Д. Сахаров, "всесилие уравнений математической физики обусловлена тем, что в их основе лежат фундаментальные законы природы, такие, например, как за¬коны сохранения, связанные с симметрией пространства и времени. Именно благодаря этому такие, на первый взгляд, различные процессы, как колебание струны, динамика сорбций газов, распространение теплоты в сплошной среде, диффузия химических компонентов, проникновение магнитного поля в хорошо проводящую среду и распространение волн эпидемий, можно описать одинаковыми по форме уравнениями. Дифференциальные уравнения отражают внутренние механизмы процессов, которые могут протекать в бесчисленном разнообразии окружающих нас тел, имеющих различные форму, размеры и свойства. Поэтому любое уравнение математической физики имеет бесчисленное множество решений. Особенности же конкретного процесса устанавливают заданием (описанием) дополнительных условий, выделяющих конкретный процесс из всех остальных.
Прежде всего в задаче математической физики, или математического моделирования, выделяют область, в которой следует решить уравнение. Эта область отражает геометрические размеры и форму тела, в котором протекает исследуемый процесс. Кроме того, на границе области выставляют некоторые граничные условия на искомую функцию, которые учитывают взаимодействие (связь) процесса в выделенном теле (системе) с аналогичным процессом в окружающих телах. В силу разнообразия форм связи этих процессов на границе области могут быть заданы различные граничные условия. Принятая классификация граничных условий обычно связана с порядком производных искомой функции, которые присутствуют в граничном условии и выражают различные условия связи.
Задачи, в которых учитывают граничные условия, называют краевыми задачами. Если на различных участках границы заданы граничные условия различных типов, то задачу называют смешанной краевой зада¬чей. Иногда, отвлекаясь от влияния на исследуемый процесс формы и размеров тел, задачу решают в безграничном пространстве. Для эволюционных процессов такие задачи называют задачами Коши. В линейных задачах математической физики не только дифференциальные уравнения являются линейными, но и граничные условия содержат лишь линейные соотношения между искомой функцией и ее производными. В современной математической физике при моделировании широкого класса явлений и процессов приходится решать задачи, в которых уравнения или краевые условия являются нелинейными. Нарушение принципа суперпозиции де¬лает нелинейные задачи значительно более сложными для решения, чем линейные.
Как в краевых задачах, так и в задачах Коши для уравнений, со¬держащих временную переменную, необходимо задавать также начальные условия на искомую функцию и ее производные по времени. Начальные условия описывают состояние системы в момент времени, выбираемый за начало исследуемого процесса. При этом с помощью уравнения мы можем определять состояние системы и в более поздние моменты времени, т.е. изучать эволюцию системы из ее начального состояния. В специальных случаях могут рассматриваться задачи начальных условий, когда характер эволюции системы постулируется при постановке задачи. Типичным примером таких задач являются задачи об установившихся процессах колебательного типа.
Итак, формулировка задачи математической физики в общем случае включает в себя задание дифференциального уравнения в частных производных, описывающего изучаемый процесс, а также граничных и начальных условий, выделяющих единственным образом конкретный процесс из бесчисленного множества аналогичных ему.
В данной дипломной работе рассматривается метод Римана для решения дифференциальных уравнений гиперболического типа. Работа состоит из трех глав. В первой главе приводятся общие понятия математической физики, в частности для дифференциальных уравнений второго порядка. На основании принципа Даламбера выводится уравнение колебание струны. Так же первая глава посвящена приведению к каноническому виду дифференциальных уравнений с двумя неизвестными переменными.
Основой для классификации уравнений такого вида служит дискриминант некоторой квадратичной формы соответствующей данной системе. В соответствии с тем, какое из соотношений, имеет место, определяются системы гиперболического, параболического, эллиптического типа соответственно. Во второй главе изложен метод Римана для решения задачи Коши для линейного уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными, так же рассматривается решение задачи Гурса. Выводится формула Грина. Дается определение функции Римана. Вывод формул решения задачи Коши опирается на вывод формул решения задачи Гурса, отличие состоит только в определении граничных условий для соответствующей области. При этом использованы известные ряды и интегралы, например, интеграл Эйлера, уравнение Бесселя и т.д. В третьей главе приведено решение нескольких задач методом Римана для гиперболических уравнений. Вообще, изучение гиперболических систем за последние десятилетия представляет особо важный интерес. Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных условиях. Об этом свидетельствует частое изучение поднятых вопросов.
Целью данной дипломной работы является изучение метода Римана для решения гиперболических уравнений.
В рамках достижения поставленной цели мною были поставлены и решены следующие задачи:
1. Изучить метод Римана и решить данным методом задачу Коши;
2. Изучить свойства функции Римана;
3. Решить несколько задач методом Римана;
Объект исследования: теория дифференциальных уравнений с частными производными.
Предмет исследования: гиперболические уравнения с двумя неизвестными переменными.
Структура и объем работы: ВКР состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 53 страницах. Список литературы содержит 14 наименований.
Купить