Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


Условия разрешимости обобщенного уравнения Буссинеска — Лява в квадратурах

Работа №87394
Тип работыДипломные работы, ВКР
Предметматематика
Объем работы37
Год сдачи2017
Стоимость4760 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено 8
Не подходит работа?

Узнай цену на написание

ВВЕДЕНИЕ 3
1 Классическая задача Гурса. Известные методы ее исследования 5
1.1 Постановка задачи 5
1.2 Метод интегральных уравнений 5
1.3 Метод Римана 10
2 Исходные результаты: известные случаи разрешимости
классической задачи в квадратурах. 12
3 Постановка задачи Гурса для обобщенного уравнения Буссинеска - Лява, ее корректность. 24
4 Частный случай: факторизованное уравнение. 26
5 Общее уравнение: условия его факторизации и разрешимости в квадратурах. 29
5.1 Первый вариант рассуждений 29
5.2 Второй способ 33
Заключение 35
Список литературы

Тема данной работы относится к теории уравнений с доминирующими частными производными. Первые исследования в этом направлении были выполнены Л. Бианки и О. Никколетти [1] - [2] еще в конце 19 века, но наиболее интенсивно развиваются в последние десятилетия. Основные результаты этой теории отражены в монографиях [3] - [4].
Рассматриваемое в нашей работе уравнение имеет вид:

агд 2 Cg,3} (D) , где D = {x0 < x < X1, У0 Оно является обобщением уравнения Буссинеска - Лява
uttxx + uxx utt 0, описывающего продольные волны в тонком упругом стержне с учетом эффектов инерции [[5], формула (20)], а также процессы колебаний в периодических слоистых средах [14].
Частные случаи (1) исследовались Д. Манжероном и М. Огюсторели [6] - [8], С.Еасвараном [9] - [10], В. Радочовой [11], Ф.С. Жамаловым [12].
В процитированной выше статье [5] ее авторы А.П. Солдатов и М.Х. Шхануков изучали уравнение высокого порядка, являющееся обобщением (1), используя при этом вариант метода Римана. Несколько иной вариант того же метода именно для уравнения (1) был разработан Е.А.Уткиной [13], а затем изложен в [[3], с. 139-142]. Указанный там способ рассуждений позволяет записать формулу решения граничной задачи Гурса в терминах функции Римана R(x,y,fy), определяемой из некоторого интегрального уравнения. Если эта функция известна в явном виде, то мы получаем решение задачи Гурса в квадратурах. Ряд таких случаев указан в [13] на основе непосредственного решения интегрального уравнения.
В настоящей работе изучаются возможности отыскания новых подобных случаев, опираясь на факторизацию уравнения (1) операторами второго порядка.
Содержание изложено в пяти параграфах, первые три из которых носят подготовительный характер: приводятся известные результаты, используемые в дальнейшем. Все рассуждения проводятся на базе задачи Гурса, позволяющей записать решение с помощью специальным образом определяемой функции Римана R, о которой в общем случае известно лишь то, что она существует и является единственной. Построение же R в явном виде означает возможность решения рассматриваемого уравнения в квадратурах. Изучению возможностей такого построения посвящено содержание Глав 4 и 5.


Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании студенческих
и аспирантских работ!


Основными результатами проведенной работы являются:
• показано, что существует бесконечное число случаев разрешимости рассматриваемого уравнения в квадратурах, каждый из которых определяется выбором шести произвольных функций;
• выяснено, что существуют варианты изучаемого уравнения, когда применяемый метод факторизации не приводит к желаемому результату, поскольку в рассуждениях возникает необходимость решения уравнений Риккати, что в квадратурах в общем случае невозможно;
• тем не менее, предложен способ получения дополнительных ограничений на коэффициенты рассматриваемого уравнения, обеспечивающих его разрешимость в квадратурах. При этом множество разрешимых в явном виде вариантов является значительно более скромным, чем в первом пункте данного заключения: вместо шести указанных там произвольных функций для выбора каждого конкретного случая разрешимости можно использовать фиксирование только двух функций.
Полученные результаты могут быть использованы при изучении уравнений более высокого порядка (начиная с пятого).
Не исключена возможность распространения проведенных рассуждений на случаи системы уравнений.



[1] Bianchi L. Sulla estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari alle derivate parziali d’ordine superiore // Atti R. Accad. Lincei. Rend. Cl. Sc. fis., mat. e natur. - 1895.-Vol.4, 1 sem. - P. 89 - 99, 133 - 142.
[2] Niccoletti O. Sull’estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari a derivate parziali d’ordine superiore // Atti R. Accad. Lincei. Rend. cl. sc. fis., mat. e natur. - 1895.- 1 sem. - P. 330 - 337.
[3] Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со стар¬шими частными производными // Казанское матем.общество, 2001.¬226 с.
[4] Жегалов В.И., Миронов А.Н., Уткина Е.А. Уравнения с доминирующей частной производной. - Казань: изд-во Казан. Ун - та, 2014. - 385 с.
[5] Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А.Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // EAH. -1987 - T. 297, N = 3. - c. 547 - 552.
[6] Mangeron D. New methods for determining solution of mathematical models governing polyvibrating phenomena. I. // Bul. Inst. politehn. Jasi. Sectia 1. - 1968. - V.14, N = 1 - 2. - P. 433 - 436.
[7] Mangeron D., Oguztoreli M.N. Darboux problem for a polyvibrating equation: solutions as F - function // Proc. Nat. Acad. USA. - 1970. - V. 67, N=3, - P. 1488 - 1492.
[8] Oguztoreli M.N. Boundary value problem for Mangerons equation. I. // Bul. Inst. politehn. Jasi. Sectia 1. - 1973. - V.19, N = 3. - P. 81 - 85.
[9] Easwaran S. On the positive definitenes of polyvibrating operators of Mangeron // Bull. cl. sci. Acad. Roy. Belg. - 1973. - V.59, N = 7 - P. 563 - 569.
[10] Easwaran S. Mangeron’s polyvibrating operators and their eigenvalues // Bull. cl. sci. Acad. Roy. Belg. - 1973. - V.59, N = 10. - P. 1011 - 1015.
[11] Radochova V. Die Losing der partiellen Differentialgleihung
uxxtt — A(t, x)uxx + B (t, X^Utt
mit gewissen Nebenbedinungen // Cas. pestov. mat. - 1973. - V. 98, N — 4. - S. 389 - 399.
[12] Жамалов Р.С. Смешанная задача для одного эволюционного уравне¬ния // Неклассические дифференциальные уравнения в частных про¬изводных. - Новосибирск, 1988. - с. 126 - 130.
[13] Уткина Е.А. Новые варианты характеристических задач для псевдо- параболических уравнений. - Дисс. Канд. физ. - мат. наук. - Казанский университет, 1999. - 140 с.
[14] Сердюкова С.И Экзотическая асимптотика для линейного гипербо¬лического уравнения // РAH, 2003. -T. 389, N = 3. - c. 305 - 309.
[15] Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. - М.:ИЛ, 1957. - 443 с.
[16] Степанов В.В Курс дифференциальных уравнений.- М.:ГИФМЛ. 1959. - 468 с.
[17] Жегалов В.И. К случаям разрешимости гиперболических уравне¬ний в терминах специальных функций // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: изд - во Ин-та математики им. С.Л.Соболева СО РАН., 2002. - с. 73 - 79.
[18] Жегалов В.И., Сарварова И.М. К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах // Изв.вузов.математика, 2013. - N = 3. - c. 68 -73.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.




© 2008-2022 Cервис помощи студентам в выполнении работ