Заказать работу


Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


Задача Римана-Гильберта для эллиптической системы первого порядка на плоскости

Работа №62277
Тип работыДипломные работы, ВКР
Предметматематика
Объем работы54
Год сдачи2018
Стоимость4210 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено 39
Не подходит работа?

Узнай цену на написание

Введение 1
Глава 1. Вспомогательные ведения 20
1 Эллиптическая система первого порядка 20
2 Функции, аналитические по Дуглису 23
Глава 2. Задача Римана-Гильберта 31
3 Одномерные сингулярные операторы 31
4 Задача Римана—Гильберта 36
Литература

Особый интерес многих математиков к эллиптическим системам основан на том, что они играют весьма важную роль в различных вопросах анализа, геометрии и механики.
Самой первой по праву работой по изучению эллиптических задач в областях с угловыми точками считается работа И. Радона [64].
Для случая плоской области с угловыми точками на границе им был применен метод решения уравнений с частными производными путем сведения краевой задачи (Неймана и Дирихле) для оператора Лапласа к интегральным уравнениям на границе области.
Впоследствии метод, предложенный в [64], нашел широкое применение в различных направлениях: в краевых задачах теории функций [51], плоской теории упругости [57], общей теории эллиптических задач [56].
Во второй половине XX-го века теория краевых задач для эллиптических уравнений была изучена в работах многих математиков: S. Agmon [1],, S.Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg [4], [5], L. Bers, А. John, M. Schechter [7], F. Browder [9], [10], L. Hormander [21], Ya. A. Roitberg [23]-[26], M. Schechter [27]-[32], М. С. Аграновича, М. И. Вишика [35], И. А. Бикчантаева [36], [37],В.С. Виноградова [42]-[44], М. И. Вишика [45], [46], Л. Р. Волевича [47], А. И. Вольперта [48], [49], Назарова, Б. А. Пламеневского [61], И. Г. Петровского [63], Я. A. Ройтберга [66], Я. A. Ройтберга, З. Г. Шефтеля [67], [68], В. А. Солонникова [81], Р.С. Сакса [69] и многих других.
Одной из основных краевых задач аналитических функций является краевая задача Римана-Гильберта. Первая ее постановка для аналитических функций исторически принадлежит Б. Риману [65]. В 1857 г. он сформулировал задачу следующим образом: найти аналитическую в области Dфункцию по известному соотношению между действительной и мнимой частями на границе области, но не указал способов ее решения.
Полное решение этой задачи в односвязной области, при условии что действительная и мнимая части и и vудовлетворяют на границе условию
Re((o — if)(и + iv'))= аи + fv= 7,
где а2 + f2= 1 дал Гильберт [20]. В связи с этим данную задачу стали называть задачей Римана-Гильберта.
Уже к концу 50-х годов прошлого века в работах русских математиков И.Н. Векуа [41], Ф. Д. Гахова [50], Н. И. Мусхелешвили [60] изучение этой задачи было завершено. В монографии И.Н.Векуа [40] данная проблема рассматривалась для обобщенных аналитических функций и для некоторого класса эллиптических систем двух уравнений. Впоследствии работы многих математиков [39], [42], [49] были направлены на обобщение задачи на общие эллиптические системы 2п уравнений первого порядка. Так Б. Боярским [39] изучается краевая задача для Q—аналитических функций в многосвязных областях, которые являются решением одной эллиптической системы специального вида. В трудах В. С. Виноградова [42] - [44] и А. И. Вольперта [48] изучены краевые задачи в односвязных областях для общих эллиптических систем, получена формула индекса и установлена фредгольмовость. Краевые задачи в односвязной области для однородной эллиптической системы с действительными коэффициентами, порядки производных в краевых условиях которых меньше порядка системы, изучены А.И.Вольпертом [49]. Много интересных результатов для эллиптических систем первого порядка с постоянными коэффициентами были получены Б. Боярским [39], W. Wendland [33], Gilbert R. P., Buchanan J. L [18] и др.
В своей работе Ф. Д. Гахов [50] впервые рассмотрел краевую задачу типа Гильберта для аналитических функций с краевым условием, содержащим производные. К этой задаче приводятся многие задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны, а также задачи безмоментной теории оболочек.
Законченные результаты по краевым задачам для общих эллиптических систем с постоянными коэффициентами можно увидеть в работах А. П. Солдатова [74], [75], [77], [80]. Так в работе [80] изучена краевая задача для эллиптических систем с постоянными матричными коэффициентами, которая охватывает широкий круг локальных и нелокальных краевых задач и предложен метод эквивалентной редукции этой задачи к системе граничных уравнений. Рассмотрения проводились в пространствах с весом для областей с кусочно-гладкой границей. В работе была получена формула индекса задачи, описана асимптотика ее решений в окрестности угловых точек и установлен критерий фредгольмовости.
Новый подход к задачам такого рода, который опирается на априорные оценки был разработан в работе В. А. Кондратьева [53]. Далее на этом направлении [55], [61] получены законченные результаты: сформулированы условия, необходимые и достаточные для фредгольмовости.
Краевая задача для общих эллиптических систем с переменными коэффициентами в ограниченной области с кусочно-гладкой границей рассматривалась в работе М. М. Сиражудинова [71], [72], в которой получена формула индекса и приведены условия фредгольмовости.
Задача о нахождении голоморфной функции в ограниченной области D,которая удовлетворяет условию: значение неизвестной функции в точке у границы области dDсвязано со значением в каждой точке Q(^), Q3D ^ dD—гладкое невырожденное преобразование, Q(Q(y)) = у, где у Е dDбыла рассмотрена T. Carleman [12] в 1932 г. Эта задача сводится к сингулярному интегральному уравнению со сдвигом.
Исследованию общих краевых задач в областях с особенностями на границе типа угловой или конической точки посвящены работы В.Г. Мазья [58] и С.А. Назаров, Б.А. Пламеневский [61]. Эллиптические уравнения с абстрактными нелокальными краевыми условиями изучались в работах М. И. Вишика [46], R. Beals [6], F. Browder [11], M. Schechter [32].
В последние годы прошлого века усилился интерес к решению эллиптических краевых задач путем редукции их к сингулярным уравнениям на границе [57]. Известны два классических способа: метод потенциала и теоретико-функциональный метод. В работах [19], [59] были получены фундаментальные результаты по решению общих эллиптических задач методом потенциала. Отметим работу Я. Б. Лопатинского [56] как одну из первых работ, посвященных краевым задачам для эллиптических систем в двумерной области с угловой точкой. Я. Б. Лопатинским были рассмотрены краевые задачи с постоянными коэффициентами. Используя метод потенциала им были получены условия нормальной разрешимости краевой задачи в пространствах функций, все производные до порядка п включительно которых непрерывны. В дальнейшем метод потенциала для эллиптических систем высокого порядка на плоскости был развит в работах [3], [14], для эллиптических систем с постоянными старшими коэффициентами в работе [15].
Классический теоретико-функциональный метод восходит к трудам А. Пуанкаре, Л. Гильберта, Т. Карлемана, И.И. Привалова. Основываясь на представлении решений эллиптических уравнений через аналитические функции, он позволяет свести исследование исходной задачи к исследованию краевых задач теории функций. И. Н. Векуа в своей работе [41] был развит теоретико-функциональный метод для эллиптических уравнений на плоскости с вещественно аналитическими коэффициентами, для эллиптических систем с постоянными старшими коэффициентами данный метод получил развитие в работах А. В. Бицадзе [38], а также в работах Р. С. Сакса [70].
Отметим, что в представлении А. В. Бицадзе решений эллиптических систем наряду с аналитическими функциями участвуют и ее производные до некоторого порядка. Сравнительно недавно (А. П. Солдатов [73], З. Йех [22]) было обнаружено, что представление А. В. Бицадзе можно существенно упростить, заменив аналитические функции решениями канонических эллиптических систем первого порядка где все собственные значения А постоянной матрицы J Е Clxlлежат в верхней полуплоскости, т.е. имеют положительную мнимую часть.
Как показано А. Дуглисом [13], все элементы теории аналитических функций распространяются и на решения этой системы.
Можно сказать, что по отношению к эллиптическим уравнениям и системам с постоянными (и только старшими) коэффициентами эти функции играют ту же роль, что и аналитические функции по отношению к уравнению Лапласса. Аналогичные свойства выявлены в работах Н. А. Жура [54] и для систем, эллиптических по Дуглису - Ниренбергу, а также для систем, гиперболических по Лере и Петровскому.
Теория эллиптических систем первого порядка для случая I = 2 получила законченный вид в трудах И. Н. Векуа [41] и Л. Берса [8] и известна под названием теории обобщенных аналитических функций.
Дальнейшее распространение: I > 2, проявилось в работах Б. В. Боярского [39], Р. Гилберта [16], Р. Гилберта, Г. Хилла [17] и др.
Важные результаты для общих эллиптических задач на плоскости методом, близким к теоретико-функциональному, получены А. И. Вольпертом [49].
В представленной работе в конечной области Dкомплексной плоскости C переменной zрассматривается эллиптическая система I линейных дифференциальных уравнений первого порядка
д д
— —A— U (z) + a(z )U (z) + b(z )U (z) = F (z)
где I х I—матричные коэффициенты a(z), b(z)и I—вектор-функция F(z) принадлежат классу С(D) и матрица А Е Clxlпостоянна.
Для этой системы рассматривается задача Римана-Гильберта
Re С(t)U(t)+|г= f (t), (0.2)
где I х I матрица-функция С(t) принадлежит классу Гельдера Сv(Г) с показателем 0 <а< 1 и I—вектор-функция f (t) G С(D).
В предположении F(z) G СМ(Р), f(t) G См(Г), // <а задача исследуется в классе
<СА(D) = {U(z) G С1(D) п С‘(Л), LAU(z) G С>‘(Л)}, (0.3)
где введено обозначение
Цель исследования: доказать фредгольмову разрешимость задачи Римана-Гильберта (0.1)-(0.2) в классе (0.3) и найти формулу ее индекса с помощью интегралов типа Коши.
Для достижения поставленной цели необходимо:
- показать, что пространство С^(Р) банахово относительно соответствующей нормы;
- получить представление для функции ф(г) из класса ^(D);
- свести исходную задачу к системе сингулярных интегральных уравнений;
Объектом исследования являются краевые задачи для эллиптических систем первого порядка на плоскости.
Предметом исследования - задача Римана-Гильберта (0.2) для эллиптической системы (0.1) в классе (0.3).
Представленная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемой литературы (83 наименований).В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул. Теоремы и леммы нумеруются двумя цифрами, первая из которых указывает на номер параграфа, а вторая - на номер теоремы (леммы) внутри параграфа.
Во введении приведен краткий исторический обзор по теме магистерской диссертации, обосновывается актуальность выбранной темы исследования, формулируется цель, объект и предмет исследования, описывается структура работы и кратко излагается содержание основных результатов.
Первая глава магистерской диссертации содержит предварительные сведения, касающиеся эллиптических систем первого порядка и функций, аналитических по Дуглису.
В первом параграфе в области Dкомплексной плоскости C переменной zрассматривается система I линейных дифференциальных уравнений первого порядка
А1 А(4 + A, AC + a(z)U(z) + b(z)U(Z) = F(z), z ё D, dx dy
где коэффициенты при старших членах — постоянные матрицы А1, А2ё Clxl, а I х I—матричные коэффициенты a(z), b(z) ё С(D)и F(z) ё С(D).
По определению система эллиптична, если для каждого ненулевого вектора £ = (£1,£2) ё R2, выполнено det(£1A1+ £2Д2) = 0, тогда матрица А = — А—1А1 не имеет вещественных собственных значений и предыдущую систему всегда можно представить в эквивалентном виде (0.1)
Пусть 11 и 12 число собственных значений матрицы А системы (0.1) (с учетом кратности), лежащих, соответственно, в верхней и нижней полуплоскости, при этом I = 11 + 12. Множество всех собственных значений можно записать в виде
а = а1U а2, С {A, Im А > 0},
где черта означает комплексное сопряжение.
С помощью подходящей обратимой линейной подстановки систему (0.1) всегда можно преобразовать к каноническому виду, т.е. к аналогичной системе, в которой все собственные значения матрицы системы лежат в верхней полуплоскости. В основе этого преобразования лежит следующее предложение 
Лемма 1.1. Существуют такие обратимые Iх I матрицы В, J блочной структуры
В11 В12 J[ Ji 0
В21 В22) 0 J2
где Вц Е CliXl^, JiЕ CliXli,i,j = 1, 2, что
J1 0
В—1АВ = J, J =I _ 0 J 2
Матрицы Ji Е CliXliимеют жорданову форму, при этом их диагональные элементы составляют множество ai.
В конце параграфа сформулирована и доказана теорема, которая позволяет привести общую эллиптическую систему (0.1) к каноническому виду эллиптической системы с треугольной матрицей J.
Теорема 1.1 В обозначениях (0.4) подстановка В—1U = (ф1,ф2), или в блочной записи, подстановка
Ui = Вцф1+^2ф2, i= 1, 2,
преобразует систему (0.1) к эквивалентной системе
дф(г) - J^(z)+ c(z)ф(с) + d(z^(z) = Fo, (0.5)
ду дх
где I х I—матричные коэффициенты имеют вид
Второй параграф посвящен функциям, аналитическим по Дуглису.
Напомним, что система Дуглиса имеет вид где все собственные значения А матрицы J Е Clxlлежат в верхней полуплоскости, т.е. имеют положительную мнимую часть. Очевидно, эта система получается из (0.5) в предположении с = d= F0= 0 и Z =Z1, Z2= 0. Именное название системы оправдано, так как в предположении теплицевой матрицы J[52] она впервые была изучена А. Дуглисом [13] в рамках так называемых гиперкомплексных чисел.
В общем случае в уравнении (0.6) матрицу J можно выбрать с точностью до подобия и подчинить различным дополнительным требованиям. Например, J можно считать жордановой матрицей, или, более общим образом, треугольной матрицей.
Для того, чтобы подчеркнуть зависимость от J, Z—вектор-функцию ф(ух) = (ф1 Д),...,ф[(z)), являющуюся решением системы Дуглиса (0.6), называем также J—аналитической функцией.
Эту функцию будем рассматриваем в конечной области D,ограниченной гладким контуром Г, который предполагается ориентированным положительно по отношению к области D, т.е. движение по Г в выбранном направлении оставляет область D слева. Саму область D называем конечной, если она лежит внутри некоторого круга.
Основные сведения, касающиеся системы Дуглиса (0.6) подробно изложены в [78]. Напомним некоторые из них, основанные на аналогах теоремы и формулы Коши для решений этих систем.
С каждым комплексным числом z = х + iyсвяжем Z х Z—матрицу
zj= х • 1 + у • J, х, y G R, собственными значениями которой служат числа х + Ху, где A G a(J), а 1—единичная матрица. В частности, при z = 0 эта матрица обратима.
Аналогом интегральной теоремы Коши для J—аналитической в конечной области D вектор-функции ф(ух)G С(D)является равенство
dzjф(Д) = 0.
Здесь (Z х Z)—матричный дифференциал dzj, определяемый аналогично zj,
действует на I—вектор ф обычным образом и потому поставлен впереди. Это равенство является очевидным следствием системы (0.6) и формулы Грина.
Аналогом интегральной формулы Коши является обобщенная
(t — z)—1dtjфЦ) = ^>(z), z G D. г
Граничные свойства в классах Гельдера интеграла типа Коши
определяющего аналитическую в D функцию, хорошо известны [60].
Напомним, что функция р удовлетворяет условию Гельдера с показателем д, 0 < д < 1, на некотором множестве Е комплексной плоскости, если существует такая постоянная С > 0, что ^z1) —^(z2)| <Сz1— z2|м для любых z1,z2G Е. Наименьшая постоянная С в этой оценке совпадает с
полунормой Ы su ИЫ —y(z2)| LAI, sup1 1,. ,
|z1 — z2 V
где верхняя грань берется по точкам zj G Е. Класс ограниченных функций, удовлетворяющих этому условию, обозначается СДЕ), относительно нормы
|^| = supp(z)| + [<д],
он является банаховым пространством [79]. Заметим, что элементы р этого пространства продолжаются до функций р G СДЕ) с сохранением Ср норм, так что множество Е всегда можно считать замкнутым.
Отметим, что семейство банаховых пространств СМ(Е) монотонно убывает по д в смысле вложений, причем в случае ограниченного множества Е вложение С!,/(Е) С Ср(Е) при д <и компактно.
Если Е является замкнутой областью D, то можно ввести пространство С 1,M(D) непрерывно дифференцируемых в D функций, которые вместе со своими частными производными принадлежат ^(D). 
В соответствии с обобщенной формулой Коши можно ввести обобщенный интеграл типа Коши

с произвольной I—вектор-функцией (^1, ..., pi) G С (Г) и матричным дифференциалом dtj = dti+ Jdt2.
Этот интеграл определяет функцию, J—аналитическую вне кривой Г.
С ним также связан обобщенный сингулярный интеграл
(t — to)—1dtjp(t), to G Г, г
который понимается обычным образом в смысле главного значения по Коши.
Для этих интегралов справедлив результат [77], аналогичный классическому случаю. Единственное отличие состоит в том, что на контур Г необходимо наложить дополнительное условие гладкости.
Обозначим e(t) = e1 (t) + ie2(t)единичный касательный вектор к Г в точек t, направление которого согласовано с ориентацией контура. Его можно рассматривать как непрерывную функцию на Г. По определению Г называют ляпуновским контуром, если эта функция удовлетворяет условию Гельдера. Более точно, этот контур принадлежит классу С1’^, если функция e(t) G С 1’v(Г), p Теорема 2.2. Пусть область D G C ограничена гладким контуром Г G С , ориентированным положительно по отношению к D. Тогда для вектор-функции p(t) из класса СМ(Г), функция (Ijp)(z), аналитическая по Дуглису, непрерывно продолжима на границу Г = dD области D, и оператор Ij ограничен СМ(Г) ^ ^(D). При этом для граничных значений (Ijр)+ этой функции справедливы формулы Сохоцкого-Племеля
2(ljр)+(to) = p(to) + SJp(to) to GГ.
В завершение второго параграфа приведена теорема о представлении J—аналитических функций обобщенными интегралами типа Коши с вещественной плотностью, которая является аналогом известной теоремы Н.И. Мусхелишвили [60] о представлении для аналитических функций.
Теорема 2.3. Пусть область D конечна и ограничена гладким контуром Г. Тогда любая J — аналитическая в D функция Ф°(г) = (IJP)(z) ■ 7<,
с некоторой вещественной I—вектор-функцией p(t) Е СМ(Г) и вещественным I—вектором £ ЕR.
Третий параграф второй главы посвящен одномерным сингулярным операторам.
Напомним [62], что оператор N, ограниченный в банаховых пространствах X ^ Y, фредгольмов, если подпространство {х Е X, Nx = 0}, называемое его ядром ker N, конечномерно, образ im N = N(X) замкнут в Y и фактор-пространство Y/im N, называемое его коядром coker N, также конечномерно. Удобно для краткости размерности dim(ker N) и dim(coker N) обозначать, соответственно, dim N и codim N.
Целое число ind N = dimN — codimN называется индексом оператора
N. Коядро coker N = Y/im N часто отождествляется с ядром ker N * сопряженного оператора N*.
Следующая теорема сдержит основные свойства фредгольмовых опера-торов [62].
Теорема 3.1. (а) Произведение N1N2 двух фредгольмовых операторов есть также фредгольмовый оператор индексаind (N1N2) = ind N1 +ind N2.
(b) Сумма фредгольмого и компактного оператора есть фредгольмовый оператор того же индекса. В частности, если оператор N0 компактен в X, то оператор N= 1 + No фредгольмов и его индекс равен нулю.
(c) Оператор N : X ^ Y фредгольмов тогда и только тогда, когда существует такой фредгольмовый оператор М : Y ^ X, что MN= 1 + Ni, NM= 1 + N2, где операторы N1 и N2 компактны в, соответственно, X и Y.
(d) Сумма фредгольмого и ограниченного оператора достаточно малой нормы есть фредгольмовый оператор того же индекса.
(e) Пусть оператор N: X ^ Y фредгольмов и оператор N: X х Ст^ Y х Спдействует по формуле N(хД) = (у,у), где
У = Nx+ 22 а3ф, у = фх + 22,-=1С&,1- i-п,
с некоторыми dj Е Y и ограниченными линейными функционалами bi Е X*. Тогда оператор N фредгольмов и его индексind N =ind N+ т — п.
Исходя из I х I—матриц-функций а, Ъ Е СДГ), рассмотрим сингулярный оператор
2N = а(1 + S) + Ъ(1 — S)+ 2No, (0.8)
где а и Ъ понимаются как операторы умножения р ^ ар, оператор N0ком¬пактен в пространстве СМ(Г) и 1—единичный оператор. По определению N принадлежит к нормальному типу, если матрицы-функции а и Ъ обратимы, т.е. det a(t) = 0 для всех t Е Г и аналогичным свойством обладает Ъ.
Согласно [79] класс всех ограниченных операторов N: X ^ Yявляется векторным пространством, которое обозначим C(X,Y). При X = Yпишем кратно £(X). Следующая лемма имеет важное значение, так как используется при доказательстве основной теоремы магистерской диссертации.
Лемма 3.1. Пусть X = X1 х ... х Xnи оператор N Е £(X) представляется треугольной п х п—матрицей (Nij), Nij Е £(Xj,X), например Nij= 0 при i ind N= ind N11 + ... + ind Nnn. 
Приведем результаты классической теории сингулярных уравнений [60].
Теорема 3.2. Пусть матрицы-функции a,b Е С1'(Г) и оператор N0 компактен в пространстве С^(Т). Тогда оператор (0.8) фредгольмов в пространстве СДГ) тогда и только тогда, когда матрицы a,b обратимы и его индекс дается формулой
_ det b
ln,
det г
где[ ]г означает приращение непрерывной ветви логарифма на контуре Г в соответствии с заданной его ориентацией.
Примером компактного оператора в См(Г) служит интегральный оператор вида
(Kp)(t0) = — k(to,tp(t)dt, t0Е Г,(0.9)%г J t -10
где функция k(t0,t) Е Сv(Г х Г) с некоторым и>у и обращается в нуль
при t = t0. Очевидно, ядро k(t0,t)(t — t0)-1этого оператора имеет слабую особенность и потому интеграл понимается в обычном смысле.
Следующая лемма дает критерий компактности оператора этого вида.
Лемма 3.2. Пусть функцияk(t0,t) Е С1'(Г х Г), 0 <у < и < 1, и выполнено условие
k(t, t) = 0, t Е Г.
Тогда оператор K ограничен С (Г) ^ Ср(Г) и, в частности, компактен в С ЦТ).
Если контур Г Е С1’^, то в соответствии с теоремой 2.2 сингулярный оператор Sjограничен в пространстве СМ(Г). Более того справедлива следующая лемма.
Лемма 3.3. Пусть Г Е С1’^, тогда оператор K= Sj — S удовлетворяет условиям леммы 3.2.
Далее в этом параграфе показана связь операторов (0.8) с комплексным сопряжением y(t) ^ y(t).
Для оператора К вида (0.9) оператор К имеет тот же вид с функцией
*Ы) = —.
(t70)е(7)
Аналогично для сингулярного оператора Коши Sоператор Sзаписывается в форме (0.9) с
, / ч (7 — to)e(t)
к^ = —t t , t •
Что касается оператора Sj, то, очевидно, он совпадает с —Sj и справедлив следующий результат.
Лемма 3.4. Пусть Г G С, тогда вместе с оператором К вида (0.9) условию леммы 3.2 удовлетворяет и оператор К. Кроме того, каждый из операторов S+ S и Sj+ Sj представим в виде (0.9) и удовлетворяет усло¬виям этой леммы.
Обозначим CR(Г) соответствующее пространство вещественных I— век- тор-функций. Если ограниченный в СМ(Г) оператор Nобладает свойством
N =N,
то он действует как R— линейный оператор NRв пространстве CR(Г) вещественных функций. В случае его фредгольмовости индекс этого оператора понимается, конечно, по отношению к размерностям над полем R.
Лемма 3.5. Операторы N иNRсвойством фредгольмовости обладают одновременно и их индексы совпадают.
Следующий результат, который дает теорема 3.2. совместно с леммой 3.5 завершает третий параграф второй главы.
Теорема 3.3. Пусть контур Г G С, матрица-функции G(t) Е Cv(Г) и оператор N0компактен в пространстве СМ(Г). Тогда оператор
Rp =Re[G(^ + Sp+ Nop)]
Фредгольмов в пространствеC-R(r) тогда и только тогда, когда матрица
G обратима, и его индекс дается формулой
ind R = ——[arg det G] г
л
где приращение [ ]гвдоль Г берется в направлении, оставляющем область D слева.
В заключительном четвертом параграфе рассматривается задача Римана-Гильберта для общей эллиптической системы (0.1) в конечной области D Е С, ограниченной гладким контуром Г Е С 1^, 0 Пусть С—комплекснозначная матрица блочной структуры, размерности I X I
/ С11 С12
С = ( I , где С., Е С*х‘>i,j= 1,2.
С21 С22
Предполагая, что матрица-функция С(t) принадлежит классу Сv(Г), задача ставится краевым условием (0.2).
Если матричные коэффициенты а,Ъ Е ^(D), р< V а правые части F Е ^(D), f Е СМ(Г), то задачу (0.1)-(0.2) естественно рассматривать в классе (0.3)
В параграфе доказано, что пространство Сд(D)банахово относительно нормы
Uс^ (D) = 1^ сДЛ) 'ВА Uфм(р).
Как обычно, задачу (0.1)-(0.2) будем называть фредгольмовой, если фредгольмов ее оператор, действующий С)(D) ^ O^(D') х СМ(Г).
Напомним, что согласно лемме 1.1 матрица В Е С1х1 имеет следующую блочную структуру
/ В11 В12 , ,
В =I _ I , В,, Е С1‘хЛ>,i,j= 1,2.
В21 В22
Рассмотрим I хZ—матрицу-функцию G(t) c блочными элементами вида
Gi1 = С,1В11 + С,2В21 Gi2 = С,1В12 + С,2В22 б =1,2
В заключении доказывается основная теорема магистерской диссертации о фредгольмовой разрешимости задачи Римана-Гильберта (0.1)-(0.2) в классе (0.3).
Теорема 4.1. Пусть область D конечна, ограничена гладким контуром Г Е С1’^ и матрица-функция С(t) Е Cv(Г). Пусть Iх I—матричные коэффициенты a(z), b(z) Е C^(D), а правые части системы (0.1) и краевого условия (0.2) принадлежат соответственно F(z) Е C^(D), f (t) Е См(Г). Тогда условие обратимости
det G(t)= 0, t Е Г необходимо и достаточно для фредгольмовости задачи (0.1)-(0.2) в классе (0.3) и ее индекс дается формулой
ю = ——[arg det G]r + I, л
где приращение [ ]г берется в направлении, оставляющем область D слева.


Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании студенческих
и аспирантских работ!


1. Agmon S. The approach to the Dirichlet problem// I. Ann. Scoula Norm. Sup. Pisa. - 1959. - V. 13. - P. 405-448.
2. Agmon S. Lectures on elliptic boundary value problems// Van Nostrand Mathematical Studies, Princeton New Jarsey-Toronto-New York-London. - 1965.
3. Agmon S. Milteple layer potentials and Dirichlet problem for higher order elliptic equation in the plane. I // Comm. Pure and Appl. Math. - 1957. - V. 10. - № 2. - P. 179—239.
4. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions// I. Comm. Pure Appl. Math. - 1964. - V. 12. - P. 623-727.
5. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions// II. Comm. Pure Appl. Math. - 1964. - V. 17. - P. 35-92.
6. Beals R. Nonlocal elliptic boundary value problems // Bull. Amer. Math. Soc. - 1964. - 70. - № 5. - P. 693-696.
7. Bers L., John А. and Schechter M. Partial Differential Equations, Interscience Publishers, New York-London-Sydney, 1964.
8. Bers L. Theory of pseudo-analytic functions // Lecture Notes. N. Y., 1953.
9. Browder F. E. Estimates and existence theorems for elliptic boundary value problems// Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. - 1959. - V. 45. - P. 365-372.
10. Browder F. E. A priori estimates for solutions of elliptic boundary value
problems// I, II, Proc. Kon. Nederl. Akad. Wetenschap. - 1960. - V. 22.
- P. 145-159, 160-196; III, Indag. Math. - 1961. - V. 23. - P. 404-410.
11. Browder F. E. Non-local elliptic boundary value problems. // Amer. J. Math.
- 1964. - V. 86. - P. 735-750.
12. Carleman T. Sur la theorie des equations integrales et ses applications // Verhandlungen des Internat. Math. Kongr. Zurich. - 1932. - V. 1. - P. 138-151.
13. Douglis, A.A., A function theoretic approach to elliptic systems of equations in two variables, Comm. Pure Appl. Math. - 1953. - V. 6. - P. 259-289.
14. Fichera G. Linear elliptic equations of higher order in two independent variables and singular integral equations, with applications to anisotropic inhomogeneous elasticity// Procees. of the Symp. «Part. Diff. Equations and Contin. Mech.» (Madison Wise, 1960). The Univ. of Wise. Pr., 1961.
15. Fichera G., Ricci P. E. The single layer potential approach in the theory of boundary value problems for elliptic equations // Lecture Notes in Math. Berlin — N. Y.: Springer - 1976. - V. 561. - P. 39-50.
16. Gilbert R. P. Constructive methods for elliptic equations // Springer Lecture Notes. - 1974. - V. 365.
17. Gilbert R. P. Hile G. N. Generalized hypcrcomplex function theory // Trans. Amer Math. Soc. - 1974. - V. 195. - P. 1—29.
18. Gilbert R. P., Buchanan J.L. First order elliptic systems, N.-Y., Ac. Pr., 1983.
19. Giraud G. Nouvelles methode pour traiter certaines problemes relatifs aux equations du type elliptique//J. de Math. - 1939. - V. 18. - P. 111-143.
20. Hilbert D. Grundzuge der Integralgleichungen. Leipzig Berlin., 1924.
21. Hormander L. Linear partial differential operators// Springer, Berlin- Gottingen-Heidelberg, 1963.
22. Ieh, R. Z. Hyperholomorphic functions and higher order partial differentials equations in the plane /R.Z. Ieh// Pacific Journ. of Mathem. -- 1990. -- V. 142. - № 2. — P.379-399.
23. Roitberg, Ya.A. Homeomorphism theorems and a Green formula for general elliptic boundary problems with nonnormal boundary conditions / Ya.A. Roitberg // Mat. Sb. - 1970. - P. 83-125.
24. Roitberg, Ya.A. On the boundary values of generalized solutions / Ya.A. Roitberg // Mat. Sb. - 1971. - V. 86. - № 2. P. 248-267.
25. Roitberg, Ya.A. A theorem on a complete selection of isomorphism for elliptic Douglis-Nirenberg systems / Ya.A. Roitberg // Ukrain. Mat. Zh. - 1975. V.
27. - № 4. -P. 544-548.
26. Roitberg, Ya.A. On the existence of boundary values of generalized solutions to elliptic equations / Ya.A. Roitberg // Sibirsk. Mat. Zh. - 1979. - V. 20. - P. 386-396.
27. Schechter M. Integral inequalities for partial differential operators and functions satisfying general boundary conditions// Comm. Pure Appl. Math. - 1959. - V. 12. - P. 37-66.
28. Schechter M. General boundary value problems for elliptic partial differential equations// Comm. Pure Appl. Math. - 1959. - V. 12. - P. 457-486.
29. Schechter M. Remarks on elliptic boundary value problems// Comm. Pure Appl. Math. - 1959. - V. 12. - P. 561-587.
30. Schechter M. Negative norms and boundary problems// Ann. Of Math. -
1960. - V. 72. - P. 581-593.
31. Schechter M. A local regularity theorem// J. Math. Mech. - 1961. - V. 10. - P. 279-287.
32. Schechter M. Nonlocal elliptic boundary value problems// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. - 1966. - V. 20. - № 2. - P. 421-441.
33. Wendlahd W. Elliptic systems in the plane. Pitman, London etc., 1979.
34. Абаполова Е. А., Солдатов А.П. К теории сингулярных интегральных уравнений на гладком контуре // Научные ведомости БелГУ. - 2010. - № 5 (76). - вып. 18. - C. 6-20.
35. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида// Успехи матем. наук. - 1964. - Т. 19. - Выпуск 3(117). - С. 53-161.
36. Бикчантаев И.А. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения эллиптического типа, Тр. сем. по краевым задачам. - 1971. - выпуск 8. - С. 31-40.
37. Бикчантаев И.А. Некоторые краевые задачи для одного эллиптического уравнения, II, Изв. вузов. Матем. - 1973. - № 12. - С. 10-21.
38. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М. : Наука, 1966.
39. Боярский Б.В. Теория обобщенного аналитического вектора.-Annales Polon. Math. - 1966. - V. 17.- N 3.- P. 281-320.
40. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.—Л.: Гостехиздат, 1948.
41. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. 2-ое изд., М., Наука, 1988.
42. Виноградов В. С. Граничная задача для эллиптической системы первого порядка на плоскости.// Дифференц. уравнения. - 1971. - Т. 7. - № 8. -
С. 1440-1448.
43. Виноградов В. С. Об одном методе решения граничной задачи для эллиптической системы первого порядка на плоскости // ДАН СССР. - 1971. - Т. 201. - №4. - С. 767-770.
44. Виноградов В. С. О граничных задачах для эллиптических систем на плоскости с непрерывными коэффициентами // ДАН СССР. - 1976. - Т. 227. - №4. - С. 777-780.
45. Вишик М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений.// Матем. сборник. - 1951. - Т. 29(71). - № 3. - С. 615-676.
46. Вишик М. И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений// Тр. Моск. Мат. об-ва. - 1952. - Т. 1. - С. 187-246.
47. Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем. // Матем. сборник. - 1965. - Т. 68(110). - № 3. - С. 373-416.
48. Вольперт А.И. Нормальная разрешимость граничных задач для эллипстических дифференциальных уравнений на плоскости // Теор. и прикс. матем. - 1958. - Вып. 1. - С. 28-57.
49. Вольперт А.И. Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости.// УМН. - 1960. - Т. 15. - выпуск 3(93).- С. 189-191.
50. Гахов Ф. Д. Краевые задачи.-М.: ГИФМЛ, 1963.
51. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М.: Наука, 1975.
52. Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы : Алгебраич. теория. — М.: Наука, 1974. — 263 с.
53. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками // Т. Моск. матем. об-ва. - 1967.
- Т. 16. - С. 202-292.
54. Жура Н. А. Об общем решении систем Лере — Дуглиса — Ниренберга с постоянными коэффициентами на плоскости // Докл. АН СССР. - 1993.
- Т. 331. - № 5. - С. 546—549.
55. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладуих областях // УМН. - 1983. - Т. 38. - №2.-С. 3-76.
56. Лопатинский Я.Б. Теория общих граничных задач.-Киев: Наук. думка, 1984.
57. Магнарадзе Л.Г. Основыне задачи плоской теории упругости для контуров с угловыми точками // Тр. Тбилисск. матем. ин-та. - 1938. - Т. 4. - С. 43-76.
58. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения. // Современные проблемы математки. Фундаментальные направления.- Т,- 27 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). - М.: 1988. - С. 131-228.
59. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957.
60. Мусхелишвили Н.И.Сингулярные интегральные уравнения. 3-е изд., М., Наука, 1968.
61. Назаров С. А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991.
62. Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексею-М.:Мир, 1970.
63. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. -М.: Физматгиз, 1961.
64. Радон И. О краевых задачах для логарифмического потенциала. // УМН. - 1946. - Т. 1. - вып. 3-4. - С.96-124.
65. Риман Б. Основы общей теории функций. ( В сочинениях). М. : ГТИ, 1948.
66. Ройтберг Я. А. Эллиптические задачи с неоднородными граничны¬ми условиями и локальное повышение гладкости обобщенных решений вплоть до границы// ДАН СССР. - 1964. - Т. 157. - № 4. - С. 798-801.
67. Ройтберг Я. А., Шефтель З. Г. Формула Грина и теорема о гомеоморфиз¬мах для эллиптических систем// Успехи матем. наук. - 1967. - Т. 22. - Выпуск 5(137). - С. 18-182.
68. Ройтберг Я. А., Шефтель З. Г. Теорема о гомеоморфизмах для эллипти-ческих систем и ее приложения// Матем. сборник. - 1969. - Т. 78(120). - № 3. - С. 446-472.
69. Сакс Р.С. Краевые задачи для некоторых систем, приводимых к эллип-тическим.// Дифференц. уравнения. - 1974. - Т. 10.- № 1- С. 132-142.
70. Сакс Р.С. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравне- ний. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1975.
71. Сиражудинов М.М. О задаче Римана-Гильберта для эллиптических систем первого порядка в многосвязной области. // Матем. сб. - 1993. - Т. 184. - № 11. - С.39-62.
72. Сиражудинов М.М. Магомедов А. Г. , Магомедова В. Г. Краевые задачи для общих эллиптических систем на плоскости. 2. // Изв. РАН, сер. матем. - 2000. - №2.
73. Солдатов А. П. Эллиптические системы высокого порядка // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25. - № 1. - С. 136-142.
74. Солдатов А. П. Общая краевая задача (к — 1)-порядка для эллиптических уравнений // ДАН СССР. - 1990. - Т. 311. - № 1. - С. 39-43.
75. Солдатов А. П. Общая краевая задача для эллиптических систем // ДАН СССР. - 1990. - Т. 311. - №3. - С. 539-543.
76. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М. : Высш. шк, 1991.
77. Солдатов А.П., Метод теории функций в краевых задачах на плоскости.
I. Гладкий случай // Изв. РАН СССР"(сер.матем.) - 1991. - T. 55. - № 5. - C.1070-1100.
78. Солдатов А.П. Гипераналитические функции и их приложения: учебное пособие. Белгород : Белгородский гос. ун-т, 2006.
79. Солдатов А.П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи. // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - 2017. - Т. 63. - С. 1-189.
80. Солдатов А.П. Эллиптические системы второго порядка на полуплоскости. // Известия РАН (сер. матем.) - 2006. - Т. 70. - № 6 - С. 161-192.
81. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле Дуглиса-Ниренберга// Изв. АН СССР. Сер. матем. -1964. - Т.
28. - № 3. -С. 665-706.
82. Солдатов А.П., О.В. Чернова К теории эллиптических систем первого порядка.// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук.- 2009. - Т. 11. - №1. - С. 79-83.
83. Солдатов А.П., Чернова О.В., Задача Римана-Гильберта для эллиптической системы первого порядка в классах Гельдера // Научные ведомости БелГУ.-2009.- № 13(68). - вып. 17/2. - С. 115-120.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.

Пожалуйста, укажите откуда вы узнали о сайте!



© 2008-2021 Cервис помощи студентам в выполнении работ
.