Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


Краевые задачи для факторизованных уравнений

Работа №34451

Тип работы

Дипломные работы, ВКР

Предмет

педагогика

Объем работы43
Год сдачи2019
Стоимость6500 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено
294
Не подходит работа?

Узнай цену на написание


ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1. Классификация уравнений с частными производными второго порядка 6
1.1. Уравнения с частными производными 6
1.2. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в
частных производных второго порядка 8
Глава 2. Задачи для факторизованных уравнений 14
2.1. Метод Римана 14
2.2. Задача в характеристическом прямоугольнике 18
2.3. Краевые задачи для уравнений третьего порядка парабологиперболического типа 23
2.4. Краевая задача для уравнения гиперболического типа 3-го
порядка 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 41
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Актуальность исследования. Все, что мы слышим, видим, осязаем, описывается уравнениями в частных производных или уравнениями математической физики. Среди процессов и явлений, адекватные модели которых основаны на таких уравнениях, можно отметить, например, колебания струны, волны на поверхности воды, звуковые и электромагнитные волны (в частности, свет), распространение тепла и диффузия, гравитационное притяжение планет и галактик, поведение электронов в атомах и молекулах, а также Большой Взрыв, приведший к образованию нашей Вселенной. Уравнения с частными производными образуют сегодня огромную и необозримую область математики и математической физики, использующую методы всей остальной математики. Однако ни одна книга, ни один учебник не могут достичь полноты в описании этой области.
Дифференциальные уравнения с частными производными, имеющие в каждой точке области своего задания и действительные, и комплексные характеристики, называются уравнениями составного типа. Впервые краевые задачи для таких уравнений были рассмотрены Ж.Адамаром, который в качестве модельного уравнения составного типа предложил уравнения
Сформулируем некоторые наиболее характерные задачи для эллиптических, гиперболических и параболических уравнений.
Пусть граница S области D пространства Еп представляет собой гладкую (п — 1)-мерную гиперповерхность. В дальнейшем под поверхностью в пространстве Еп будем понимать именно (п — 1)-мерную гиперповерхность.
Требуется определить регулярное в области D решение и(х) уравнения Аи = 0, непрерывное в замкнутой области D U S и удовлетворяющее краевому условию
lim и(х) = у (у), хЕ D, у ES, (1)
Х^у
где у —заданная на S действительная непрерывная функция.
Сформулированная задача носит название первой краевой задачи или задачи Дирихле.
регулярного
Обозначим через G область пространства Еп-1 переменных по условиям где у и ^ — заданные в G достаточно гладкие действительные функции, называется задачей Коши. Условия (2) известны под названием начальных условий.
Пусть D — область пространства Еп, ограниченная цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси хп, и двумя плоскостями хп = 0, хп = h, h> 0^ Часть границы области D без верхнего основания хп = h обозначим через S. Требуется найти регулярное в области D решение и(х) уравнения
d2u
~dxf
по краевому условию
lim u(x) = p(y), у E S, x E D
X^y
где ф — заданная на S достаточно гладкая действительная функция. Эта задача называется первой краевой задачей для уравнения (3).
Цель исследования: изучение краевых задач.
Задачи:
- изучить классификацию и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных второго порядка;
- использовать классический метод Римана для решения широкого класса задач для уравнений с частными производными;
- исследовать задачу для факторизованного дифференциального уравнения в характеристическом прямоугольнике.
Объект исследования: дифференциальные уравнения с частными производными.
Методы исследования. Используются методы теории уравнений с частными производными.
Структура и объем работы: ВКР состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 42 страницах, включая формулы. В списке литературы содержится 18 наименований.

Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь студентам в написании работ!


При выводе дифференциальных уравнений с частными производными из общих законов, которым подчинены изучаемые явления природы, естественно возникают дополнительные условия, налагаемые на искомые решения. Центральное место в теории уравнений с частными производными занимает доказательство существования и единственности именно таких решений, которые удовлетворяют этим условиям. Если окажется, что малое изменение данных, входящих как в уравнения, так и в дополнительные условия, вызывает малое изменение удовлетворяющего им решения или, как ещё принято говорить, искомое решение устойчиво, то задача называется правильно (корректно) поставленной. Важно заметить, что условия задач, которым должны удовлетворять искомые решения, существенно зависят от типа рассматриваемого уравнения.
В данной работе рассматриваются вопросы корректной постановки и исследования краевых задач для уравнений смешанного, составного и смешанно-составного типов. Основное внимание уделено уравнениям третьего порядка как составного типа, так и с действительными характеристиками.
Таким образом, была продемонстрирована возможность использования классического метода Римана для решения широкого класса задач для уравнений с частными производными. В частности, исследована задача для факторизованного дифференциального уравнения в характеристическом прямоугольнике. Исследованы некоторые новые краевые задачи для модельных уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа.



1. Бицадзе, А.В. Уравнения математической физики/ А.В. Бицадзе. 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1982. - 336 с.
2. Джураев, Т.Д. О канонических видах уравнений с частными производными третьего порядка / Т.Д. Джураев, Я. Попелёк // Успехи матем. наук. - 1989. - Т. 44, № 4. - 237-238 с.
3. Жегалов В.И. Уравнения с доминирующей частной производной/ В.И. Жегалов, А.Н. Миронов, Е.А. Уткина. - Казань: Изд-во Казанск. Ун-та, 2014. - 384c.
4. Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных/ А.В. Бицадзе. - М.: Наука, 1981. - 448 с.
5. Жегалов В.И. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными/ В.И. Жегалов, А.Н. Миронов. - Казань: Изд-во Казанск. матем. общ-ва, 2001. - 226 с.
6. Владимиров B.C. Уравнение математической физики / В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. - М.: Российская академия наук, 2006. - 106 с.
7. Бицадзе А. В. Сборник задач по уравнениям математической физики: учеб. пособие для студентов механико - математических и физических специальностей вузов / А. В. Бицадзе, Д. Ф. Калиниченко. - М.: Альянс, 2007. - 226 c.
8. Акбаров Р. Однородная краевая задача Римана для обобщенных
аналитических функций с дополнительными условиями на искомые функции
/ Р. Акбаров, Х. Хидиров. - Душанбе: Президиум Академии наук
Республики Таджикистан, 2006. - С. 908-914.
9. Вашарин А.А. Сборник задач по уравнениям математической физики : учеб. пособие / А.А. Вашарин, В.С. Владимиров, Х.Х. Каримова, В.П. Михайлов, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин. - М.: ООО Издательская фирма «Физико-математическая литература», 2003. - 288 с.
10. Чернов И. Функция Римана для одного гиперболического уравнения / И. Чернов, Р. Абдуллина. - Материалы VI международной научно-практической конференции: CreateSpace, 2015. - С. 210-213.
11. Ибрагимов Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. Классические и новые методы. Нелинейные математические модели. Симметрия и принципы инвариантности / Перевод с англ. И.С. Емельяновой. - Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007. - 421 с.
12. Михлин С.Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин. - М.: Наука, 1968. - 576 с.
13. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики / М.А. Шубин. - 2-е изд. испр. - М.: МЦНМО, 2003. - 303 с.
14. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными / О.А. Олейник. - 2-е изд. испр. и дополн. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. - 260 с.
15. Миронов А.Н. Краевые задачи для уравнений с доминирующей частной производной: дис. на соиск. уч.степени д. ф.-м. н.: 01.01.02. - Казан. федеральный университет, Казань, 2013. - 260 с.
16. Елубаев С. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболического типа третьего порядка / С. Елубаев // Сибирский математический журнал - 1961. - Т. 2, №4. - С. 510-519.
17. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнени й смешанного и смешанносоставного типов / Т.Д. Джураев. - Ташкент: ФАН., 1979. - 237 с.
18. Миронова Л.Б. Уравнения математической физики: учебное пособие / Л.Б. Миронова. - Елб.: Елаб. госуд. пед. универститет, 2007. - 69 с.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.



Подобные работы


©2024 Cервис помощи студентам в выполнении работ