Заказать работу


Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ФУНКЦИИ СОСТОЯНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ

Работа №39882
Тип работыДипломные работы, ВКР
Предметматематика
Объем работы24
Год сдачи2019
Стоимость4900 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено 30
Не подходит работа?

Узнай цену на написание

Введение 3
1. Постановка задачи оптимального управления 7
2. Аппроксимация дифференциальной задачи 9
3. Седловая задача и итерационный метод ее решения 11
4. Численные результаты 14
Заключение 18
Список литературы 19
Приложение. Листинг программы 20


Оптимальное управление играет фундаментальную роль в решении серии прикладных задач. Задачи оптимального управления можно отнести к двум видам: задачи с сосредоточенными и распределенными параметрами. Как известно, задачи с распределенными параметрами распределяются на эллиптические, параболические и гиперболические задачи. В настоящей работе представлены задачи параболического типа с производными по времени целого и дробного порядков.
Для уравнений с производными целого порядка аналитическое решение можно найти лишь в отдельных случаях со строгими условиями на известные коэффициенты. Задачи с дробными производными по времени имеют более узкий класс точных решений. Именно поэтому актуальной становится задача поиска их численного решения.
Для более точного определения следующих исследований обратимся к работе Gisele М. Mophou [1], где применяется классическая теория управления к уравнению дробной диффузии в ограниченной области. Дробная производная по времени рассматривается в смысле Римини Лиувилля. В этой статье изучается существование и единственность решения дробной диффузии уравнения в гильбертовом пространстве. Затем доказывается, что рассматриваемая задача оптимального управления имеет уникальное решение. Интерпретация условия оптимальности первого порядка Эйлера-Лагранжа имеет сопряженную задачу, определенную правой дробной производной Капуто, и таким образом получается система оптимальности для задачи оптимального управления.
Также в работе [2] «Optimal control of a nonhomogeneous Dirichlet boundary fractional diffusion equation» Rene Dorville, Gisele M. Mophou, Vincent S. Valmorin
изучается неоднородное граничное дробное диффузионное уравнение Дирихле в ограниченной области. Дробная производная по времени рассматривается в смысле Римана-Лиувилля. В статье доказаны существование и единственности решения граничного дробного уравнения диффузии путем транспозиции. Затем при некоторых соответствующих предположениях о замкнутом выпуклом множестве допустимых управлений получена разделенная система оптимальности.
Задача об оптимальном управлении начинается с выбора математической модели реального управляемого процесса. Понятие о трех типах моделей (и их разновидностей) - детерминистической, стохастической и адаптирующейся, основанное на идеях теории автоматического управления, дается в работах Веллмана [3]
• Детерминистическая модель: рассматриваются задачи об оптимальном управлении для объекта, который описывается совокупностью обыкновенных дифференциальных уравнений или векторным уравнением.
• Стохастическая модель: учитывает действие случайных факторов различной природы с известными вероятностными характеристиками.
• Адаптирующаяся модель, учитывающая действие случайных факторов с неизвестными вероятностными характеристиками, которые уточняются в процессе управления объектом.
Перечислим коротко те задачи, которые заключаются в поиске оптимального управления:
1. Проблема существования допустимого управления, переводящего объект из одного заданного состояния в другое. Очень важна для теории оптимальных систем и связана непосредственно с «чистой» теорией управления^ также с теорией устойчивости по Ляпунову [4].
2. Вопросы существования, единственности оптимального управления, создание критериев, позволяющих выделить его из класса допустимых управлений, переводящих объект управления из одного заданного состояния в другое.
3. Приближенные методы — выяснение свойств оптимального управления, аппроксимация
Рассматриваемые методы могут найти широкое применение в промышленности. Более подробное рассуждение их применимости представлено, например, в статье «Overview to mathematical analysis for fractional diffusion equations - new mathematical aspects motivated by industrial collaboration» Junichi Nakagawa, Kenichi Sakamoto and Masahiro Yamamoto [5]. В данной статье в качестве такого возможного примера обсуждается уравнение дробной диффузии. Математика оказывается полезной для создания инноваций в индустриальной отрасли, и математические знания эффективно используются для этой цели. Однако, это только один аспект промышленной математики, где различные существующие математические знания применяются для решения необходимых предметов из отрасли. С другой стороны, можно видеть противоположное направление: решение прикладных задач побуждает исследователей на создание новых областей математики.
Цель работы - исследование параболических задач оптимального управления с построением эффективного алгоритма их численного решения.
Объект исследования - задачи оптимального управления с поточечными ограничениями на функции состояния и управления.


Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании студенческих
и аспирантских работ!


Проведенное исследование в области численного анализа задач оптимального управления с производной дробного порядка показало, что проблема является нетривиальной ввиду большой трудоемкости и сложности вычислительной работы. Непустые множества ограничений на функции состояния и управления вызывают существенное замедление в итерационном процессе.
В ходе работы была доказана однозначна разрешимость сеточной задачи оптимального управления, при помощи функции Лагранжа предложен вариант седловой задачи с ограничениями, которая сводится к набору конечномерных включений. Решение этих включений является покоординатной проекцией правой части на множества ограничений. Предобусловливатель был выбран, во-первых, исходя из условия сходимости итерационного метода, а, во-вторых, его выбор определялся независимостью итерационного параметра от шагов сетки. Разработанные в среде Visual Studio алгоритмы представленного метода позволяют решать задачи с матрицами специального вида, при этом сохраняя простоту их реалиации.
Таким образом, можно сделать вывод, что обобщенные пред обусловленные методы для решения параболических задач оптимального управления с использованием множителей Лагранжа, приводящих к седловым задачам с ограничениями, позволяют эффективно решать поставленные задачи.



[1] G. М. Mophou Optimal control of fractional diffusion equation // Computers and Mathematics with Applications,—2011,—V,61, №1.—P, 68-78,
[2] R. Dorville, G. M. Mophou, V. S. Valmorin Optimal control of a nonhomogeneous Dirichlet boundary fractional diffusion equation// Computers and Mathematics with Applications,— 2011.-V.62, №3.-P. 1472-1481.
[3] Веллман P., Энджел Э. Динамическое программирование. - М.: Мир, 1974.
[4] Красовский Н.Н. К проблеме существования оптимальных траекторий// Изв, вузов. Математика,—1959,—Т.6, Л'" 13. С. 81-87.
[5] J. Nakagawa, К. Sakamoto and М. Yamamoto Overview to mathematical analysis for fractional diffusion equations — new mathematical aspects// Journal of Math-for- Industrv,—2010,—V.2 (2010A-10) P. 99-108.
[6] B. Jin, B. Li and Z. Zhou Pointwise in time error estimate for an optimal control problem with subdiffusion constraint, http://arxiv.org/abs/1707.08808,
[7] I. Ekeland, R. Temam Convex analysis and variational problems (Amsterdam: North- Holland) 1976,
[8] A. V. Lapin Preconditioned Uzawa type methods for finite-dimensional constrained saddle point problems// Lobaehevskii J, Math,—2010,—V,31,—P, 309-322,
[9] A Romanenko Numerical solution of a parabolic optimal control problem with time- fractional derivative j j Journal of Physics: Conference Series,—2019,—V,1158, .Y" I. P. 1-5,
[10] P, Neittaanmaki, D, Tiba, «Optimal control of nonlinear parabolic systems: theory, algorithms and applications»,- 1994 - N,Y,:Mareel Dekker, 


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.

Пожалуйста, укажите откуда вы узнали о сайте!


Подобные работы


© 2008-2020 Cервис продажи образцов готовых курсовых работ, дипломных проектов, рефератов, контрольных и прочих студенческих работ.
.