Оглавление 2
Глава 1 Введение 3
1.1 Аннотация 3
1.2 Цели работы 3
1.3 Актуальность избранной темы 3
Глава 2 Геометрические характеристики поверхности и основные уравнения 6
2.1 Геометрическая характеристика поверхности 6
2.2 Параметрическая форма задания поверхности 6
2.3 Первая и втарая квадратичные формы 8
2.4 Полная и средняя кривизна поверхности 10
2.5 Визуализация результатов 12
Глава 3. Асимптотические линии 14
3.1 Уравнение асимптотических линий 14
3.2 Два семейства асимптотических линий 15
3.3 Нахождение плоской асимтотической линии 17
Заключение 18
Список использованной литературы 19
Приложение 20
В данной работе рассматривается линейчатая поверхность четвертого порядка с отрицательной Гауссовой кривизной - цилиндроид с двумя направляющими эллипсами [1]. Выявлены причины, которые побуждают интерес к данной поверхности. Также вычислены важные геометрические инварианты, а именно: Гауссова и средняя кривизны [2]. Найдены асимптотические линии первого и второго рода, а также плоская асимптотическая линия [4]. С помощью универсального математического компьютерного пакета Maple [3] вычислены уравнения и визуализированы результаты.1.2 Цели работы
1. Пояснить актуальность темы
2. Описать поверхность уравнениями
3. Вычислить и визуализировать основные кривизны
4. Найти и изобразить асимптотические линии
1.3 Актуальность избранной темы
В книге [1] описаны более 500 прототипов геометрических поверхностей для архитектурных конструкций. Особый интерес представляют собой оболочковые конструкции (купола, своды, крыши) архитектурных проектов. Среди десятков известных линейчатых поверхностей, которые можно принять за срединные поверхности оболочек, находят применение линейчатые поверхности нулевой гауссовой кривизны (рис.1-д): цилиндрические, конические и реже торсовые, а также линейчатые поверхности отрицательной гауссовой (полной) кривизны (рис.1-г): однополостные гиперболоиды, гипары, коноиды и реже цилиндроиды.
В современной архитектуре важно изучать и исследовать геометрические поверхности, ведь от их тщательного геометрического анализа (входящего как составная часть в анализ с позиций механики) зависит прочность конструкции, что влияет на безопасность использования строений.
В данной работе, была изучена поверхность четвертого порядка отрицательной гауссовой кривизны - цилиндроид с двумя направляющими эллипсами. Поверхность была записана в параметрическом виде, и с помощью вектор-функции, изображена в программной среде Maple. Рассмотрены первая и вторая квадратичные формы и найдены их коэффициенты. С помощью коэффициентов квадратичных форм, получены полная(гауссова) и средняя кривизны. Благодаря программе Maple, визуализированы отклонение гауссовой и средней кривизн. Вычислены и нарисованы асимптотические линии 1-го и 2-го рода на поверхности. С асимптотической линией 2-го семейства, возникли трудности с ОДУ, но разложив его в ряд Тейлора 4-м порядком, получили искомую линию. Также была вычислена и изображена плоская линия.
