Введение 2
1 Обзор литературы 3
1.1 Объект исследования 3
1.2 Моделирование течения крови 3
1.3 Математическая модель 3
1.4 Выводы 6
2 Модель без учёта вязкости 7
2.1 Решение задачи Коши 7
2.2 Разностные схемы 8
2.3 Практическая оценка порядка сходимости 9
2.4 Результаты и вывод 10
3 Модели с учётом вязкости 11
3.1 Одномерные неньютоновские модели 11
3.2 Случай бесконечного промежутка 14
3.3 Случай конечного промежутка 20
3.4 Результаты и выводы 24
Заключение 25
Литература 26
На текущий момент сердечно-сосудистые заболевания остаются наиболее распространённой причиной смертности и инвалидности [1]. Только на ишемические болезни сердца приходится 16% от общего числа неинфекционных смертей в мире.
Математическое моделирование важно для исследования движения крови. С его помощью реализуются компьютерные программы, позволяющие прогнозировать и отслеживать изменения в организме человека. Например, таким образом рассчитывается движение крови в сосудах с патологиями.
В рамках работы рассмотрена одномерная математическая модель течения крови, рассмотрены различные модели, учитывающие вязкость крови, а также получены аналитические решения задачи Коши и начально-краевой задачи с периодическими условиями.
Стоить отметить, что зачастую авторы пренебрегают неньютоновскими свойствами крови при рассмотрении одномерной модели [2]. В ходе работы были получены решения с учётом этих свойств и проведено сравнение с решениями, полученными при рассмотрении крови как ньютоновской жидкости.
Перспективной областью применения аналитических решений является тестирование численных методов, которые позволяют решать уже более сложные и комплексные задачи.
Таким образом, целью работы является получение аналитических решений задач для уравнений одномерной гемодинамики. Для достижения цели, ставится ряд задач:
1. Получение аналитического решения задачи Коши для случая модели крови как идеальной жидкости;
2. Получение аналитического решения задачи Коши для случая модели крови как вязкой жидкости с учётом неньютоновости;
3. Получение аналитического решения начально-краевой задачи для случая модели крови как вязкой жидкости с учётом неньютоновости.
В Главе 1 рассматриваются общие свойства крови, общая математическая модель кровотока, а также рассмотрены различные подходы к моделированию неньютоновских свойств крови. Глава 2 посвящена рассмотрению модели крови без учёта вязкости. В Главе 3 рассматриваются аналитические решения в бесконечном и конечном сосудах для моделей крови, учитывающих вязкость.
В ходе выполнения выпускной квалификационной работы были получены следующие результаты:
1. Получено аналитическое решение для задачи Коши в случае рассмотрения крови как идеальной жидкости;
2. Получено аналитическое решение задачи Коши с учётом неньютоновских свойств крови;
3. Получено аналитическое решение начально-краевой задачи с учётом неньютоновских свойств крови;
4. С использованием полученных решений проведено сравнение различных моделей крови.
Из полученных результатов можно сделать следующие выводы:
1. Полученные решения могут быть успешно использованы при тестировании программ, реализующие численные методы;
2. Для всех рассмотренных моделей характерно наличие отклонения решения от случая ньютоновской жидкости;
3. Для всех моделей, в которых учитываются неньютоновские свойства крови, характерно схожее поведение решений задач для конечного и бесконечного промежутков.
