ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1 . МЕТОД ФУРЬЕ 5
1.1. Уравнения с разделяющимися переменными 5
1.2. Задача Штурма - Лиувилля 11
1.3. Фундаментальная система решений Штурма - Лиувилля 15
1.4. Разложение в ряд по собственным функциям регулярной задачи
Штурма - Лиувилля 18
1.5. Сингулярная задача Штурма - Лиувилля 22
1.6. Общее изложение метода Фурье для случая двух независимых
переменных 25
ГЛАВА 2 . КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 30
2.1. Внутренние и внешние краевые задачи для уравнения Лапласа 30
2.2. Частные решения уравнения Лапласа в полярной системе
координат 32
2.3. Краевые задачи для уравнения Лапласа внутри круга 34
2.4. Краевые задачи для уравнения Лапласа вне круга 36
2.5. Краевые задачи для уравнения Лапласа в круговом кольце 38
2.6. Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике 41
2.7. Построение явных формул решений некоторых задач 46
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 57
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Купить

Актуальность исследования. Метод Фурье является одним из наиболее распространенных методов аналитического решения краевых задач математической физики.
В 1822 Жан Батист Жозеф Фурье опубликовал известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и разработал для решения этого уравнения при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев.
В общем виде метод Фурье был разработан Михаилом Васильевичем Остроградским в 1828.
Основная идея этого метода состоит в том, что решение задачи для уравнения с частными производными сводится к решению вспомогательных задач для уравнений с меньшим числом независимых переменных. В частности, если заданное уравнение содержит две независимые переменные, то вспомогательные задачи будут зависеть уже только от одной переменной. Таким образом, решение уравнения с частными производными сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
В этой главе мы рассмотрим технику применения одного из основных аналитических методов решения краевых задач математической физики — метода Фурье. Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из наиболее общих методов математической физики, применение, которого не ограничивается уравнениями какого-либо одного типа (гиперболического, эллиптического или параболического) и оказывается эффективным при рассмотрении широкого класса задач.
Применение метода Фурье будет иметь успех, если уравнение задачи является линейным и относится к классу дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
Цель исследования: использование метода Фурье для исследования краевых задач.
Задачи: изучить метод Фурье для эллиптических, гиперболических, параболических уравнений.
Объект исследования: уравнения с частными производными.
Предмет исследования: краевые задачи и задачи Штурма - Лиувилля.
Методы исследования: метод Фурье, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Структура и объём работы. Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 59 страницах. Список литературы содержит 12 наименований.

Купить