ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПОВЕРХНОСТЕЙ 5
1.1. Понятие поверхности 5
1.2. Гладкие и регулярные поверхности 9
1.3. Первая квадратичная форма поверхности. Измерения на
поверхности 14
1.4. Вторая квадратичная форма 19
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1 36
ГЛАВА 2.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПРОСТРАНСТВА Е3ПО
КОЭФФИЦИЕНТАМ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 37
2.1. Основные уравнения теории поверхностей 37
2.2. Задачи на определение поверхности по коэффициентам её
квадратичных форм 51
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2 58
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 59
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Актуальность. В дифференциальной геометрии свойства поверхностей характеризуются некоторыми функциями или константами, получаемыми в процессе дифференцирования функций, задающих поверхности. Большой интерес представляет обратная задача: получение поверхностей, свойства которых описываются заданными функциями — коэффициентами квадратичных форм поверхности. В евклидовой геометрии доказана разрешимость этой задачи, а именно доказана теорема Бонне о том, что поверхность определяется заданием коэффициентов ее первой и второй квадратичных форм [16].
Несмотря на наличие значительного массива научной литературы по теории поверхностей и дифференциальной геометрии, отсутствуют примеры с постановкой задачи на нахождение поверхности по наперед заданным коэффициентам её квадратичных форм.
Объект исследования: теория поверхностей в евклидовом пространстве.
Предмет исследования: задача определения поверхности по коэффициентам её квадратичных форм.
Цель дипломной работы: разработать способы определения параметрических уравнений поверхности по её основным квадратичным формам.
Задачи дипломной работы: рассмотреть понятия: «поверхность», «гладкие и регулярные поверхности»; раскрыть значимость первой и второй квадратичных форм поверхности и выявить их взаимосвязь; рассмотреть основные уравнения теории поверхностей; разработать алгоритм определения поверхности по коэффициентам квадратичных форм поверхности.
В ходе решения поставленных задач дипломной работы были использованы следующие методы исследования: анализ и синтез, моделирование.
Первичной информацией для данного исследования послужили классические монографии [7],[12], а так же статья [7]
Теоретическая значимость данной работы состоит в том, что в ней обобщены результаты известных авторов по проблеме определения поверхности коэффициентами её квадратичных форм (в трёхмерном евклидовом пространстве). Работ, в которых такие обобщения были бы сделаны, в процессе написания дипломного, выявлено не было.
Практическая значимость данной дипломной работы состоит в том, что ее выводы могут быть использованы преподавателями и студентами для постановки и решения задач на нахождение поверхности по коэффициентам квадратичных форм в евклидовом пространстве.
Структура работы обусловлена предметом, целью и задачами исследования. Работа состоит из введения, двух глав и заключения.
Введение раскрывает актуальность, определяет степень научной разработки темы, цель исследования, раскрывает теоретическую и практическую значимость работы.
В первой главе рассматривается зависимость поверхности от коэффициентов квадратичных форм поверхности в евклидовом пространстве. Вторая глава посвящена методологии нахождения вектор— функции поверхности по коэффициентам квадратичных форм поверхности в евклидовом пространстве.
В заключении подводятся итоги исследования, формируются окончательные выводы по рассматриваемой теме.
В работе рассмотрена известная по классической теории задача об однозначном определении поверхности её основными квадратичными формами. Однако практическое воплощение этой задачи в научной литературе встречается крайне редко и лишь для частных видов квадратичных форм [7]. Решить эту задачу в общем виде, то есть составить компьютерную программу для нахождения параметрических уравнений поверхности по её квадратичным формам, пригодную для всевозможных выражений квадратичных форм (с учётом их взаимосвязи, конечно) - ещё не решённая научная задача. Мы дерзнули поставить её в данной дипломной работе. Решена она, как и следовало ожидать, частично: программа составлена, но работает она для ограниченного вида функций, а именно для тех, для которых выполняются условия (12) (глава 2, п. 2.2.1.).
Тем не менее, положительный результат в работе имеется. Поэтому можно считать, что её задача выполнена.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
