Введение 3
Глава 1. Квадратичные формы 5
1.1. Квадратичная форма 5
1.2. Приведение квадратичных форм к каноническому виду 7
Глава 2. Приведение уравнений с частными производными к каноническому виду 12
2.1. Приведение линейных уравнений 2-го порядка с двумя независимыми переменными к канонической форме 12
2.2. Приведение уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными к каноническому виду 18
2.3. Приведение линейных уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными к канонической форме 21
2.4. Приведение уравнений с частными производными 2-го порядка с тремя независимыми переменными к каноническому виду 25
2.5. Приведение линейных уравнений 3-го порядка с двумя независимыми переменными к канонической форме 32
Заключение 42
Литература

Купить

Актуальность. Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также дифференциальные уравнения находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.
Существует множество видов дифференциальных уравнений. Один из них — дифференциальные уравнения в частных производных.
Первое уравнение в частных производных историки обнаружили в статьях Эйлера по теории поверхностей, относящихся к 1734-1735 годам (опубликованы в 1740 году). В современных обозначениях оно имело вид: dz dx = f (x’y)
Начиная с 1743 года к работам Эйлера присоединился Даламбер, открывший общее решение волнового уравнения для колебаний струны. В последующие годы Эйлер и Даламбер опубликовали ряд методов и приёмов для исследования и решения некоторых уравнений в частных производных. Эти работы ещё не создали сколько-нибудь завершённой теории.
Второй этап можно датировать 1770-1830 годами. К этому периоду относятся глубокие исследования Лагранжа, Коши и Якоби. Первые систематические исследования уравнений в частных производных на¬чал проводить Фурье. Он применил новый метод к решению уравнения струны — метод разделения переменных, позднее получивший его имя. Дифференциальные уравнения с частными производными являются основным инструментом исследования в современной математической физике. Эффективное определение типа такого уравнения и приведение его к каноническому виду дает возможность решать многие задачи в механике, гидро и газодинамике и других прикладных дисциплин. Это объясняется с одной стороны потребностями разделов физики, с другой стороны потребностями собственно математической науки.
Цель исследования: изучение некоторых классов уравнений с частными производными.
Задачи. Приведение уравнения 2-го и 3-го порядка к каноническому виду.
Объект исследования: уравнения с частными производными.
Предмет исследования: уравнения с частными производными 2-го порядка, 3-го порядка.
Методы исследования. Общие методы теории дифференциальных уравнений, методы приведения квадратичных форм к каноническому виду.
Структура и объем работы. ВКР состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 44 страницах. Список литературы содержит 11 наименований.

Купить