Введение 8
Глава 1. Литературный обзор 24
1.1 Общие проблемы интегрирования уравнений Навье-Стокса 24
1.2 Определение и классификация точных решений 28
1.3 Классы точных решений уравнений Навье-Стокса и их использование при описании крупномасштабных вертикально завихренных течений жидкости 40
1.3.1 Класс течений Громеки-Бельтрами-Тркала 40
1.3.2 Полиномиальные изотермические точные решения уравнений
Навье-Стокса 42
1.3.3 Полиномиальные точные решения уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска 49
Глава 2. Класс точных решений уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска 53
2.1 Уравнения движения жидкой несжимаемой неизотермической вязкой би-нарной смеси в классе скоростей линейно зависящих от части координат . 53
2.1.1. Уравнения термодиффузии вязкой несжимаемой жидкости в при-ближении Буссинеска 53
2.1.2. Инвариантные свойства уравнений термодиффузии 55
2.1.3. Структура класса точных решений и вывод уравнений движения
неоднородной жидкости 57
2.1.4. Уравнения конвективных течений жидкости, определяемые классом линейно растущих скоростей по части координат 66
2.1.5. Изотермические движения жидкости, определяемые классом точных решений линейно растущих скоростей по части координат 67
2.2. Расширение класса точных решений для обобщений уравнений Навье- Стокса в приближении Буссинеска, описывающих проводящие среды во вращательной декартовой прямоугольной системе координат 69
2.2.1. Класс точных решений уравнений термодиффузии при наличии источников и стоков 69
2.2.2. Класс точных решений для уравнений, описывающих течение жидкости во вращающейся системе координат 70
2.2.3. Класс точных решений для уравнений, описывающих неоднородные проводящие жидкости 71
2.2.4. Дальнейшие обобщения класса точных решений для скоростей, линейных по координатам 77
2.3. Точные стационарные решения линеаризованной системы уравнений тер-модиффузии несжимаемой жидкости 80
2.3.1. Критические точки и критические значения отображения пространства параметров состояния в пространство параметров управления... 80
2.3.2. Стационарная система уравнений Стокса, описывающая термодиффузионные течения, в исследуемом классе точных решений 82
2.3.3. Исследование экстремальных свойств точных решений системы
Стокса 84
2.4. Стационарное конвективное течение Куэтта вязкой несжимаемой жидкости при неоднородном линейном нагреве верхней границы бесконечного слоя 86
2.4.1. Постановка задачи о плоском обобщенном течении Куэтта 86
2.4.2. Краевые условия на границах бесконечного слоя 88
2.4.3. Точное решение, описывающее конвективное течение Куэтта .. .90
2.4.4. Анализ и интерпретация решения краевой задачи для температуры 91
2.4.5. Анализ и интерпретация решения краевой задачи для скоростей 93
2.4.6. Анализ и интерпретация решения краевой задачи для давления 101
2.4.7. Область применимости точного решения задачи 107
2.5. Стационарное конвективное течение Куэтта вязкой несжимаемой жид-
кости при неоднородном линейном нагреве нижней границы бесконечного слоя 111
2.5.1. Точное решение задачи конвективного течения Куэтта при нагреве
нижней границы по линейному закону 111
2.5.2. Анализ гидродинамических полей, описывающих нагрев нижней
границы по линейному закону бесконечного слоя 112
2.6. Конвективное течение Куэтта вязкой несжимаемой жидкости при квадратичном нагреве верхней границы 115
2.6.1. Точное решение конвективного течения Куэтта при нагреве верхней границы 115
2.6.2. Исследование свойств температурного поля при квадратичном нагреве верхней границы 118
2.6.3. Исследование свойств поля скоростей при квадратичном нагреве
верхней границы 123
2.6.4. Исследование свойств давления при квадратичном нагреве верхней
границы 128
2.7. Осесимметричная термокапиллярная конвекция Марангони при квадратичном нагреве бесконечного слоя вязкой несжимаемой жидкости 130
2.7.1. Класс точных решений 130
2.7.2. Осесимметричная термокапиллярная конвекция Марангони при
квадратичном нагреве вязкой несжимаемой жидкости 132
2.7.3. Анализ поля скоростей плоской конвекции Бенара-Марангони 137
2.7.4. Анализ поля температуры плоской конвекции Бенара-Марангони 142
2.7.5. Анализ поля давления плоской конвекции Бенара-Марангони .144
2.8. Выводы по второй главе 148
Глава 3. Крупномасштабные стационарные изотермические течения завихренной вязкой несжимаемой жидкости 150
3.1. Нелинейные изотермические уравнения, описывающие крупномасштабные слоистые течения вязкой несжимаемой жидкости при постоянном давлении 150
3.1.1. Постановка задачи 150
3.1.2. Анализ разрешимости системы 153
3.2. Неоднородное крупномасштабное стационарное течение Куэтта вертикально завихренной изотермической вязкой несжимаемой жидкости 158
3.2.1. Постановка краевой задачи 158
3.2.2. Точное решение неоднородного течения Куэтта 162
3.2.3. Исследование поля скоростей 163
3.2.4. Исследование касательных напряжений, завихренности и спиральности 174
3.3. Неоднородное стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости, индуцируемое касательными напряжениями на свободной границе 178
3.4. Сравнение определяющих уравнений крупномасштабных слоистых течений с уравнениями, определяющими движение Мирового океана 182
3.5. Стационарное течение Куэтта-Экмана вязкой несжимаемой жидко-сти в слое конечной толщины при постоянном давлении 185
3.5.1. Постановка задачи 185
3.5.2. Точное решение 186
3.5.3. Анализ скоростей 188
3.6. Крупномасштабное стационарное неоднородное течение Пуазёйля вязкой
несжимаемой жидкости 194
3.6.1. Постановка задачи и точное решение 194
3.6.2. Анализ поля скоростей 196
3.7. Трехмерные потенциальные течения типа Куэтта вязкой несжимаемой
жидкости 202
3.7.1. Постановка задачи 202
3.7.2. Точное стационарное решение 204
3.7.3. Точное нестационарное решением 208
3.8 Выводы по третьей главе 208
Глава 4. Крупномасшатабные конвективные течения вертикально завихренной
вязкой несжимаемой жидкости 210
4.1. Стационарная слоистая крупномасштабная конвекция Марангони при линейном нагреве одной границы бесконечного слоя вязкой несжимаемой жид¬
кости 210
4.1.1. Постановка задачи и точное решение 210
4.1.2. Анализ поля скоростей термокапиллярного течения жидкости при
задании горизонтального градиента на верхней границе 218
4.1.3. Анализ температурного поля термокапиллярного течения жидкости при задании горизонтального градиента на верхней границе .... 222
4.1.4. Анализ поля давления термокапиллярного течения жидкости при
задании горизонтального градиента на верхней границе 225
4.2 Стационарная слоистая крупномасштабная конвекция Марангони при за-дании источника стратификации на обеих границах бесконечного слоя вязкой несжимаемой жидкости 227
4.2.1. Постановка задачи и точное решение задачи 227
4.2.2. Анализ поля скоростей конвекции Марангони при нагреве обеих
границ 229
4.2.3. Анализ температурного поля конвекции Марангони при нагреве
обеих границ 231
4.2.4. Анализ поля давления конвекции Марангони при нагреве обеих
границ 233
4.3. Установившееся конвективное течение Куэтта вертикально завихренной вязкой несжимаемой жидкости 235
4.3.1. Постановка задачи и точное решение 235
4.3.2. Анализ поля скоростей при крупномасштабной конвекции верти-кально завихренной жидкости 245
4.3.3. Анализ полей температуры и давления при крупномасштабной конвекции вертикально завихренной жидкости 252
4.4. Выводы по четвертой главе 256
Глава 5. Нестационарные крупномасштабные течения вязкой несжимаемой жид-кости 258
5.1. Колебания Стокса в завихренной изотермической вязкой несжимаемой
жидкости в приближении крупномасштабности 258
5.1.1. Постановка задачи 258
5.1.2. Граничные условия 261
5.1.3. Анализ поля скоростей 268
5.2. Колебания Стокса в поле сил Кориолиса 273
5.3. Нестационарные неоднородные течения Куэтта диссипативной завихрен¬
ной несжимаемой жидкости 275
5.4. Выводы по пятой главе 280
Заключение 281
Список литературы 284
Актуальность работы. Движение вязкой несжимаемой жидкости, индуцированное различными силовыми полями, как правило, характеризуется геометрической анизотропией. В этом случае для течений жидкости в тонких слоях горизонтальный масштаб I доминирует над вертикальным характерным размером (толщиной слоя Д).
Крупномасштабные движения в рамках математического аппарата геофизической гидродинамики, океанологии, динамической метеорологии и других направлений механики несжимаемой жидкости могут быть успешно опи-саны, как конвективные слоистые течения вязкой несжимаемой жидкости. В этом случае вектор скорости жидкой среды имеет вид:
V = (ух (х, у, 2, , Уу (х, у, 2, , 0) .
Устоявшейся точкой зрения является утверждение о том, что рассматриваемый класс слоистых течений размерности «два с половиной» может удовлетворительно описывать стратифицированную несжимаемую жидкость. В этом случае пренебрегают изменением вертикальной скорости _ и строят различные математические модели движения воды в Мировом океане. Наиболее популярными уравнениями гидромеханики крупномасштабных течений являются определяющие соотношения, полученные из уравнений Навье-Стокса на основе гипотезы турбулентности Сен-Гили. За такими уравнениями закрепилось специальное название: «наивные уравнения», в которых удерживается вертикальная скорость во всех уравнениях Обербека-Буссинеска, за исключением проекции уравнения сохранения импульсов на вертикальную ось, и не учитываются перекрестные диссипативные эффекты, вызванные неоднородностью распределения температуры и концентрации соли. Иными словами, для описания крупномасштабных процессов принимается приближение гидростатики по толщине слоя. Альтернативный подход был разработан в Пермской гидродинамической школе (С. Н. Аристов, В. Д. Зимин, 1986; С. Н. Аристов, П. Г. Фрик, 1987; С. Н. Аристов, К. Г. Шварц, 2011), который заключался в построении квазидвумерных моделей, описывающих вращающиеся массы жидкости с учетом поперечной координаты, и обобщающих классические уравнения мелкой воды Сен-Венана.
Диссертационная работа посвящена теоретическим исследованиям аналитическими методами решений уравнений Навье-Стокса и Обербека-Буссинеска крупномасштабных течений вязкой несжимаемой жидкости. Изучено влияние неоднородных полей скоростей, температуры (концентрации) и давления на установившееся и нестационарное движение вязкой несжимаемой жидкости в линейной и нелинейной постановках краевых задач.
В качестве основных научных результатов в диссертационной работе можно выделить следующие:
1. Открытие новых классов точных решений уравнений термодиффузии в при-ближении Буссинеска, позволяющих моделировать физические процессы с учетом перекрестных диссипативных эффектов, в которых поля давления, температуры, концентрации, массовые силы, источники и стоки являются квадратичными формами от горизонтальных координат, а коэффициенты за-висят от поперечной координаты и времени. Показана возможно расширения класса точных решений Линя-Сидорова-Аристова для проводящих вращающихся жидкостей. Впервые предложен класс решений, у которого источники и стоки являются кубиками (кубическими формами) по горизонтальным координатам. Показано, что учет геометрической анизотропии приводит к расширению области применимости приближения Стокса для описания конвективных крупномасштабных течений типа Куэтта и Бенара-Марангони. В этом случае характерное число подобия обратно пропорционально квадрату показателя анизотропии. Установлено, что в случае линейной постановки задачи о противотечениях, при отсутствии скольжения на дне, они могут воз-никать только при существовании линейного или квадратичного источника, индуцирующего движение жидкости;
2. Впервые найдено точное решение нелинейных уравнений Навье-Стокса, описывающее крупномасштабное течение на экваторе. Данное точное решение можно трактовать, как неоднородное течение Куэтта вертикально завихренной жидкости. Показано, что инерционные эффекты, возникающие при течении жидкости, приводят к наблюдению противотечений и усилений скоростей при постоянном давлении. Найдено уточнение решения Экмана для слоя жидкости конечной толщины при задании скоростей на верхней границе, что привело к уточнению формул интегрального расхода жидкости в океане. Приведено обобщение течения Пуазёйля, которое при неоднородном распределении скоростей и выполнении условия прилипания описывает спиральное течение с двумя застойными точками. Показано, что трехмерное обобщение классического течения Куэтта в виде суперпозиции решений приводит к потенциальному течению;
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
