Тема: ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Актуальность исследования. Задача Коши — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).
Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием «математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при t - 0, а решение отыскивается при t> 0.
От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач. Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:
1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?
2. Если решение существует, то какова область его существования?
3. Является ли решение единственным?
4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?
Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение у = f(х) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (х0, ,уо)
имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений у =fix).Точка (*о,Уо) задаёт начальные условия.
Цель исследования: анализ условий существования и единственности задачи Коши.
Задачи:
- рассмотреть и изучить теоремы существования;
- рассмотреть условия единственности решения задачи Коши;
- проанализировать типичность единственности и нетипичность неединственности решения задач Коши в терминах категории множеств, рассмотреть проблему неединственности.
Объект исследования: обыкновенные дифференциальные уравнения.
Предмет исследования: задача Коши.
Методы исследования. Используются общие методы теории дифференциальных уравнений, методы функционального анализа, а так же методы теории множества. Интегрирование различных дифференциальных неравенств - один из основных технических приемов, используемых в данной работе.
Значимость работы:
рассмотрена типичность единственности и нетипичность неединственности решения задач Коши;
- рассмотрены некоторые основные результаты интегрирования дифференциальных неравенств и непосредственные приложения изложенных результатов, в том числе и некоторые теоремы единственности.
Структура и объём работы. ВКР состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 50 страницах, включая формулы. Список литературы содержит И наименований.

Купить

В данной работе были получены следующие результаты:
- рассмотрены и изучены теоремы существования;
- рассмотрены условия единственности решения задачи Коши;
- проанализирована типичность единственности и нетипичность неединственности решения задач Коши в терминах категории множеств, рассмотрели проблему неединственности;
- изложены основы метода группового анализа дифференциальных уравнений;
- рассмотрены некоторые основные результаты интегрирования дифференциальных неравенств и непосредственные приложения изложенных результатов, в том числе и некоторые теоремы единственности.

Купить