Введение 2
0.1. Основные определения и теоремы 5
1. Конечные и алгебраические расширения полей 8
1.1. Определение базовых понятий 8
1.2. Конечные расширения полей 12
1.3. Простые расширения полей 14
1.4. Алгебраические расширения полей 19
2. Поля ненулевой характеристики. 22
2.1. p-степень суммы 22
2.2. Корни pk-степени из элементов поля 23
2.3. Нулевые производные 24
2.4. Сепарабельные многочлены 25
2.5. K-изоморфизмы полей. 27
3. K-автоморфизмы полей 31
3.1. Группа Aut G 31
3.2. Подполе неподвижных элементов LG 32
3.3. Пример: AutKK(x) 33
3.4. Конечные расширения конечных полей 38
3.5. Конечная группа автоморфизов 41
4. Список литературы
Купить

Поле — это одно из основных предметов изучения теории основных алгебраических систем. В 1820—1830-х годах понятие поля в своих работах неявно использовали Нильс Абель и Эварист Галуа. Последний в 1830 году, используя идею алгебраического расширения поля, нашел необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной можно было решить в радикалах. Позднее при помощи теории Галуа была доказана невозможность решения таких классических задач, как квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба. Кроме того, Эварист предложил очень общий метод решения уравнений. Если они не решаются, нужно расширить множество возможных решений точно также, как и в случае уравнения второй степени. Такие расширения, которые позволяют решать уравнения любой степени, называются расширениями Галуа. Эта идея до настоящего времени является одной из основных в современной математике.
Явное введение понятия поля относят к Дедекинду (изначально под названием «рациональная область», термин «поле» введён в 1871 году), который назвал «полем» подмножество действительных или комплексных чисел, замкнутое относительно четырех математических операций. В 1881 году Леопольд Кронекер изучал свойства алгебраических числовых полей, также называя их «областями рациональности».
В 1893 году Генрих Вебер дал первое чёткое определение абстрактного поля, а в 1910 году Эрнст Штайниц опубликовал известную работу Algebraische Theorie der KOrper (нем. Алгебраическая теория полей), в которой развил аксиоматическую теорию полей и предложил множество важных концепций, таких как простое поле, совершенное поле и степень трансцендентности расширения поля.
Понятие поля широко используется в науке. Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам, поле используется в линейной алгебре как структура, универсализирующая понятие скаляра, и основная структура линейной алгебры — линейное пространство — определяется как конструкция над произвольным полем. Так же и алгебраическое многообразие — основной объект изучения алгебраической геометрии — определяется над произвольным полем. Алгебраическая теория чисел занимается изучением свойств алгебраических числовых полей и их колец; и, конечно, использует результаты классической теории полей.
Конечные поля широко используются в теории чисел и теории кодирования. В частности, поля характеристики 2 полезно рассматривать в информатике.
Таким образом, при написании данной работы передо мною была поставлена цель: выявление и изучение различных типов расширений полей - алгебраических и трансцендентных, сепарабельных и несепарабельных, простых, конечных и бесконечных.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: изучение необходимой литературы по данной теме; систематизация материала; доказательство теорем и предложений, касающихся излагаемого текста; построение примеров, иллюстрирующих различные типы расширений; применение методов, использовавшихся при доказательстве теорем, для приложений теории; решение упражнений, относящихся к данной теме.
Данная работа состоит из трёх глав, которые разбиты на пятнадцать параграфов.
В первой главе «Конечные и алгебраические расширения полей» мы рассматриваем понятие «расширение поля», каким оно бывает в зависимости от размерности пространства, от количества элементов, которыми оно порождено, и от того, являются ли элементы корнями некоторых многочленов; вводятся такие понятия, как «башня расширений» и «примитивный элемент», доказываются характеризующие их теоремы, а также утверждения о строении простого, простого алгебраического и простого трансцендентного расширений.

Купить