Введение 4
1 Уравнение с фиксированным запаздыванием 5
1.1 Характеристический квазиполином уравнения 6
1.2 Точка бифуркации 6
1.3 Бифуркация состояния равновесия 7
1.4 Уравнение Хатчинсона 12
2 Уравнение с большим запаздыванием 15
2.1 Случай а близкого к1 17
2.2 Случай а близкого к -1 19
Заключение 23
Купить

Дифференциальные уравнения с запаздыванием возникают во многих прикладных задачах: в нейродинамике, лазерной физике, в задачах мате-матической экологии, в описании работы ядерного реактора, в радиофизике и во многих других областях знаний [1-3].
В работе будет рассмотрено уравнение
x + x = ax(t — Т) + f (x).
Динамические свойства его решений в критическом случае определяются укороченным нормализованным уравнением
d- = A1£ + df |2ф (Jj I
где коэффициенты A1 и d - комплексные числа [1]. Это верно для случая, ко¬гда значение параметра а близко к критическому и определяется уравнением
а = ао + "ai.
В данном случае надкритичность а1 - константа. Цель работы - иссле¬довать локальную (в окрестности нулевого состояния равновесия) динамику дифференциального уравнения с запаздыванием в случае, когда надкритич¬ность не является константой.
В случаях, близким к критическим, для исследования будет применена теория нормальных форм Пуанкаре. Приведение к нормальным формам осу¬ществляется при помощи рядов по степеням отклонения от равновесия или периодического решения [4].
Особое внимание будет уделено случаю, когда параметр Т, характеризу-
ющий запаздывание, является достаточно большим, т.е.
Т^> 1.
В случае, когда состояние равновесия теряет устойчивость, при условии постоянной надкритичности, аналог нормальной формы имеет вид нелиней¬ного параболического уравнения [1]. Так, при а близком к 1, соответствующая краевая задача имеет вид
du 1 d2u r 2 . , , , .
~Т = БТ~2 + aiu - f2u , u(r,r + 1) = u(r,r).
dr 2 dr2
В настоящей работы мы исследуем локальную (в окрестности нулевого состояния равновесия) динамику дифференциального уравнения с запазды¬ванием в случае, когда надкритичность непостоянная, т.е.
а = ±(1 + "2a1(t)).
В работе мы с помощью асимптотических методов построим в критиче¬ских случаях аналоги нормальных - квазинормальные - формы.

Купить