Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


МНОГОСЕТОЧНЫЙ МЕТОД ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА II РОДА

Работа №77382
Тип работыДипломные работы, ВКР
Предметматематика
Объем работы48
Год сдачи2017
Стоимость4290 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено 57
Не подходит работа?

Узнай цену на написание

ВВЕДЕНИЕ 3
1 Постановка задачи 5
2 Линейное интегральное уравнение Фредгольма 6
2.1 Аппроксимация интегрального уравнения Фредгольма II рода квадратурной формулой 6
2.2 Многосеточный метод решения СЛАУ 9
2.3 Основные результаты работы 13
2.3.1 Пример I 13
2.3.2 Пример II 14
2.3.3 Пример III 15
2.4 Описание программы в среде «Matlab» 16
3 Нелинейное интегральное уравнение Урысона 18
3.1 Существование решений у нелинейных интегральных уравнений
3.2 Аппроксимация интегрального уравнения Урысона квадратурной формулой 20
3.3 Методы решения систем нелинейных уравнений 22
3.3.1 Метод простой итерации 22
3.3.2 Метод Ньютона 23
3.4 Многосеточный метод решения системы нелинейных уравнений
3.5 Основные результаты работы 26
3.5.1 Пример I 26
3.6 Описание программы в среде «Matlab» 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 30
ПРИЛОЖЕНИЕ А Код программы 31
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Код программы


В данной работе рассматривается задача решения многосеточным методом системы линейных алгебраических уравнений, получаемых путём аппроксимации интегрального уравнения квадратурными формулами.
К интегральным уравнениям приводят многие задачи, возникающие и в самой математике, и в многочисленных ее приложениях, как например, метод решения дифференциальных уравнений, заключающийся в сведении его к интегральному. Известные законы сохранения массы, импульса, энергии имеют интегральную формулировку и приводят к интегральным уравнениям. С помощью интегральных уравнений описываются законы газовой динамики, экологии, электродинамики и т.д. Преимуществом таких моделей служит то обстоятельство, что в отличие от дифференциальных уравнений, интегральные не содержат производной искомой функции, а, следовательно, накладывают менее жесткие ограничения на гладкость неизвестного решения.
В общем виде интегральные уравнения записываются как и(х) — j K(x,s,u(s)) ds = f(х), где D - некоторая область, и - неизвестная функция, f - заданная функция, К - в общем случае нелинейная относительно х функция. [3,9,10]
Приведение к интегральным уравнениям при исследовании краевых задач является естественным, потому что в таких уравнениях связаны между собой значения известных и неизвестных функций лишь н а конечном интервале, а не на бесконечно малом, как дифференциальные уравнения.
Нелинейные интегральные уравнения изучены и классифицированы гораздо в меньшем объеме и их теория менее стройна и едина, в отличие от линейных уравнений. Они характерны для исследования процессов в нелинейных средах, в частности в теории нелинейных колебаний. Для различных классов нелинейных интегральных уравнений существует большое число теорем об их разрешимости и о свойствах их решений. Численное решение нелинейных уравнений часто оказывается затруднительным, хотя и здесь существует ряд подходов. В данной работе будет рассмотрен подход аппроксимации в уравнении интеграла квадратурными формулами.
Целью данной работы является применение и изучение эффективности многосеточного подхода для решения интегрального уравнения.
Работа содержит две главы:
1) Случай линейного интегрального уравнения Фредгольма II рода
2) Случай нелинейного интегрального уравнения типа Урысона
В каждой из глав приведена соответствующая теоретическая часть, в том числе приводятся результаты о существования решения.
Затем приводится итерационные процессы, и обсуждаются вопросы их использования для решения интегральных уравнений.
Приводятся результаты численных экспериментов, сведенных в таблицы, проводится анализ полученных результатов.
Приведен текст реализованной в среде Matlab программы, описаны все соответствующие функции.

Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании студенческих
и аспирантских работ!


1) Результаты как линейного случая интегральных уравнения, так и нелинейного случая, отображенные в таблицах 1-4 свидетельствуют о явном росте эффективности применения большего количества сеток в многосеточном подходе в связи с увеличением размерности плотной сетки
2) Нелинейная задача показывает менее удовлетворительные результаты по сравнению с линейной задачей в связи с существенно большой трудоемкостью выполнения процедуры получения приближения по методу Ньютону по причине затратного формирования матрицы Якоби имеющейся нелинейной системы уравнений, а также последующее решение системы линейных алгебраических уравнений с ней
3) Значительную роль в увеличении времени решения нелинейной задачи играют средства реализации данной программы в системе Matlab и их оптимальное использование, поскольку как было замечено, наибольшая трудоемкость метода Ньютона заключена в формировании матрицы Якоби, и именно генерация и использование нелинейной системы является достаточно трудно оптимизируемым в среде Matlab.



1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. - М.: Издательство
"Высшая Школа", 2009. - 840 с.
2. Волков К.Н. Многосеточный метод ускорения сходимости при решении задач газовой динамики на неструктурированных сетках // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2014. - №. 4. - 92 с.
3. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространстве суммируемых функций. — Издательство: «Наука», 1966. - 499 с.
4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989. - 432 с.
5. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. - М.: Физматгиз, 1962. - 394 с.
6. Колмогоров А.Н., Фомин В.С. Элементы теории функций и
функционального анализа. - М.: Наука, 1981. - 460с.
7. Глазырина Л. Л., Карчевский М. М. Введение в численные методы: 3. учебное пособие //Казань: Казанский университет. - 2012. - 19-22 с,
8. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. -/М.: Бином. - 2003. - 324 c
9. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. Серия "Современные проблемы математики". - М.: ГИТТЛ, 1956. - 392 с.
10. Вайнберг М.М. - Вариационные методы исследования нелинейных операторов. - М. Издательство: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. - 345 с.
11. Volker, John. Multigrid Methods [Электронный ресурс] / J. Volker // Winter Semester. - 2013 - № 14. - 65 p. - 66 с.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.




© 2008-2022 Cервис помощи студентам в выполнении работ