ВВЕДЕНИЕ 3
1 Постановка задачи 5
1.1 Постановка задачи 5
1.2 Обобщенная формулировка 9
1.3 Схема метода конечных элементов 12
2 Схема метода конечных элементов в пространстве Ht 15
2.1 Построение схемы метода конечных элементов в пространстве Ht 15
2.2 Численные эксперименты 22
3 Схема метода конечных элементов в пространстве Нп 25
3.1 Построение схемы метода конечных элементов в пространстве Нп 25
3.2 Численные эксперименты 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 35
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 36
ПРИЛОЖЕНИЕ
Граничные задачи для системы Ламе возникают, прежде всего, в задачах распространения дифракции упругих волн. Например, одномерная система Ламе возникает в задаче дифракции упругих волн на градиентном изотропном [1] и на трансверсально-изотропном градиентном слоях [2].
С математической точки зрения одномерная система Ламе представляет собой линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями третьего рода. Численному решению такого рода систем посвящены многие работы [3],[4], но точность решения в цитируемых статьях равна 0(h2).
Цель данной работы состоит в том, чтобы составить алгоритм решения системы Ламе с точностью 0(hm), где т> 2. Для достижения поставленной цели был выбран метод конечных элементов, описанный в [5 — 8].
Магистерская Работа состоит из трех разделов. В первом описывается классическая постановка системы Ламе, состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, приводится обобщенная формулировка задачи в виде системы интегральных тождеств и строится схема метода конечных элементов в конечномерном пространстве непрерывных функций.
Во втором разделе строится схема метода конечных элементов в конечномерном пространстве кусочно-линейных функций Ht. Точность построенной схемы равна 0(h2). Для реализации метода в среде Matlab была написана программа. Во втором подразделе данного раздела приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие правильность работы программы.
В третьем разделе, в отличие от предыдущего, схема метода конечных элементов строится в конечномерном пространстве кусочно-непрерывных функций Нп, которые являются полиномами Лагранжа степени п, п> 1. Точность построенной схемы метода равна 0(hn), что позволяет вычислять решение задачи с большой точностью. Для реализации данного алгоритма схемы метода конечных элементов была написана программа в среде Matlab [9],[10]. Во втором подразделе описанного раздела показаны результаты численных экспериментов, которые подтверждают правильность работы программы.
В приложениях A и B приведены коды программ для среды Matlab в пространстве Ht и Нп соответственно.
Магистерская работа посвящена применению метода конечных элементов для одномерной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. При выполнении магистерской работы были получены следующие результаты:
1) Построена схема метода конечных элементов в пространстве кусочнолинейных функций. Следует отметить, что при построении схемы использовалось интегрирование по квадратурной формуле трапеций.
2) Построена схема метода конечных элементов в конечномерном пространстве непрерывных функций, которые являются полиномами п — ой степени на каждом конечном элементе. При построении схемы использовались квадратурные формулы Симпсона.
3) Составлен комплекс программ для реализации метода конечных элементов, написанный в среде Matlab.
4) Проведена серия численных экспериментов.
На основании проведенных численных экспериментов можно сделать следующие выводы:
1) Схема метода конечных элементов, построенная в пространстве кусочно-линейных функций, имеет погрешность 0(h2).
2) Схема метода конечных элементов, построенная в пространстве кусочно-полиномиальных функций, имеет погрешность 0(h2n).
