Заказать работу


Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ПЛОСКОЙ УПРУГОЙ ВОЛНЫ НА ГРАДИЕНТНОМ АНИЗОТРОПНОМ СЛОЕ

Работа №44056
Тип работыДипломные работы, ВКР
Предметматематика
Объем работы86
Год сдачи2018
Стоимость4350 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено 16
Не подходит работа?

Узнай цену на написание

ВВЕДЕНИЕ 3
1 Построение разностной схемы 5
1.1 Постановка задачи 5
1.2 Построение разностной схемы 8
1.3 Явный вид разностной схемы 12
2 Итерационный метод Гаусса-Зейделя 20
2.1 Построение метода 20
2.2 Модельная задача №1 24
2.3 Модельная задача №2 26
2.4 Модельная задача №3 28
3 Итерационный метод Якоби 31
3.1 Построение метода 31
3.2 Модельная задача №1 35
3.3 Модельная задача №2 37
3.4 Модельная задача №3 39
3.5 Сравнение методов Гаусса-Зейделя и Якоби 41
4 Решение системы Ламе с помощью PDE ToolBox 43
4.1 Модельная задача №4 43
4.2 Модельная задача №5 46
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 49
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 50
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Код программы

Задачи распространения упругих волн на градиентных изотропных и градиентных анизотропных слоях приводят к системе Ламе. В статье [1] исследована задача дифракции плоской упругой волны на градиентном слое и было показано, что она может быть сведена к системе Ламе. Также в этой статье была составлена разностная схема с погрешностью аппроксимации O(h) и приведен численный метод решения поставленной задачи. В статье [2] была изучена задача дифракции упругой волны на анизотропном слое, также было показано что задача сводится к системе дифференциальных уравнений второго порядка, составлена разностная схема с порядком аппроксимации O(h) и предложен численный алгоритм решения. В работах [3, 4] была составлена разностная схема для системы Ламе, описанной в [1], с погрешностью аппроксимации O(h2) и полученная система решалась методом матричной прогонки.
Цель выпускной работы - составить разностную схему для задачи дифракции плоской упругой волны на градиентном анизотропном слое с погрешностью аппроксимации O(h2) и предложить итерационные методы решения полученной системы линейных уравнений.
Для аппроксимации системы Ламе был выбран разностный метод. Теории разностных схем посвящены многие исследования, например, монографии [5, 6]. Разностная схема была составлена методом сумматорных тождеств, который изложен в книге [7]. В этой работе показано, что составленная разностная схема будет иметь второй порядок аппроксимации. Сама разностная схема представляет собой систему линейных уравнений с квадратной матрицей. Одним из способов решения таких систем является итерационные методы решения. Итерационные методы дают возможность найти решение системы, как предел бесконечного вычислительного процесса, позволяющего по уже найденным приближениям к решению построить следующее, более точное приближение. Классическая теория итерационных методов описывается, например, в книгах [8, 9, 10]. Для разностной схемы, которая аппроксимирует систему Ламе, были применены блочные варианты итерационных методов Гаусса-Зейделя и Якоби, которые изложены, например, в монографии [11].
Выпускная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка использованных источников и одного приложения, в котором приведен код программы. В первом разделе, состоящим из трех подразделов, строится разностная схема с погрешностью аппроксимации O(h2), то есть производятся все необходимые вычисления, которые приводят систему Ламе к конечной системе алгебраических уравнений. В первом подразделе приведена постановка задачи, во втором подразделе, методом сумматорных тождеств построена разностная схема, а в третьем подразделе выписан явный вид разностной схемы, необходимый для дальнейших вычислений. Во втором разделе, содержащим четыре подраздела, строится итерационный метод Гаусса-Зейделя, а также проводится серия численных экспериментов, подтверждающих правильность работы программы. Третий раздел также состоящий из четырех подразделов, посвящен описанию итерационного метода Якоби, примененного к системе Ламе. Данный раздел содержит явные расчетные формулы для итерационного метода Якоби и серию численных экспериментов, устанавливающих правильность работы программы. В этом же разделе приведены таблицы, в которых показаны результаты численных экспериментов по сравнению работы двух рассмотренных итерационных методов. В четвертом разделе приведены результаты численных экспериментов для решения си-стемы Ламе при помощи пакета PDETool.


Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании студенческих
и аспирантских работ!


В выпускной работе были получены следующие результаты:
1) Получено интегральное тождество для системы Ламе;
2) Построена разностная схема с погрешностью O(h2);
3) Выведен явный вид расчетных формул для итерационного метода Гаусса- Зейделя для решения разностной схемы;
4) Выведены расчетные формулы для итерационного метода Якоби для решения разностной схемы;
5) Написана программа, реализующая итерационные методы Гаусса-Зейделя и Якоби;
6) Проведена серия численных экспериментов, подтверждающих правильность работы программ;
7) Исследованы результаты работы солверов в MatLab, которые предназначены для решения систем линейных эллиптических уравнений.



1. Ануфриева А.В., Тумаков Д.Н. Дифракция плоской упругой волны на градиентном слое // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физ.- мат. науки. - 2012. - Т. 154, №4. - С. 116-125.
2. Anufrieva A., Chikrin D., Tumakov D. On Peculiarities of Propagation of a Plane Elastic Wave through a Gradient Anisotropic Layer // Advances in Acoustics and Vibration. - Vol. 2015, Article ID 515263, 7 pages, 2015.
3. Ануфриева А.В., Рунг Е.В., Тумаков Д.Н. Применение метода сумматорных тождеств в решении граничной задачи для системы уравнений Ламе // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физ.-мат. науки. - 2016. Т. 158, №1. - С. 26-39.
4. Anufrieva A.V, Rung E.V, Tumakov D.N., Application of a second order accu-rate finite-difference method to problems of diffraction of elastic waves by gradi-ent layers // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2016. - Vol.158, Is.1. - Art. № 012008.
5. Самарский, А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. - Москва: Наука, 1977. - 656 с.
6. Самарский А.А. Разностные методы для эллиптических уравнений/ А.А. Самарский, В.Б. Андреев . - М.: Наука, 1976. - 350 с.
7. Карчевский М.М. Методы вычислений: численные методы решения дифференциальных уравнений / М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко, М.Ф. Павлова .-Казань: Изд-во Казанского университета, 1990 .- 128 с.
8. Самарский А.А. Методы решения сеточных уравнений/ А.А. Самарский, Е.С. Николаев.- М.: Наука, 1978. - 588 с.
9. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков .- М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2018 .- 636 с.
10. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, А.А. Корнев, Е.В. Чижонков.- М.: Лаборатория знаний, 2016 .- 352 с.
11. Быченков Ю.В. Итерационные методы решения седловых задач / Ю.В. Быченков, Е.В. Чижонков.- М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010 .- 349 с.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.

Пожалуйста, укажите откуда вы узнали о сайте!



© 2008-2020 Cервис продажи образцов готовых курсовых работ, дипломных проектов, рефератов, контрольных и прочих студенческих работ.
.