1 Введение 3
2 Постановка рассматриваемой задачи 7
3 Понятие слабого решения начально-краевой задачи (1)-(4) 9
4 Операторная трактовка задачи 12
5 Аппроксимационная задача 13
6 Свойства операторов 14
7 Априорные оценки 36
8 Теорема существования решения аппроксимационной задачи 41
9 Предельный переход 43
10 Заключение 47
Список литературы 49
В окружающем нас мире повсеместно наблюдается движение разнообразных жидкостей и сред, во многом близких к жидкостям: газов, гелей, золей и других (в качестве конкретных примеров подобных сред можно перечислить такие среды как кровь, полимеры и различные их растворы и расплавы, битумы, тесто, земная кора, бетон). Математическое описание этого движения является интересной и трудной задачей. Уже при исследовании самых простых уравнений движения жидкостей и сред, близких к жидкостям, возникло множество нерешенных до настоящего момента математических проблем.
Исторически первой научной работой в этом направлении, по всей видимости, является трактат Архимеда "О плавающих телах" , в котором впервые вводится понятие давления как основной характеристики взаимодействия частиц жидкости и используется предположение о несжимаемости жидкости. На основе этих двух механистических предпосылок начала развиваться гидростатика, для развития которой был использован существовавший на тот момент математический аппарат геометрии Евклида. Собственно создание гидродинамики (науки о движении жидкости) связано с именами Галилео Галилея, Христиана Гюйгенса, Блеза Паскаля и Исаака Ньютона и было обусловлено созданием основ дифференциального и интегрального исчисления. Дальней¬шее развитие гидродинамики связано с именами Леонарда Эйлера, Даниила Бернулли, Жозе Луи Лагранжа, Симеона Дени Пуассона, Людвига Прандт- ля, Огюста Луи Коши, Анри Навье, Джорджа Стокса, Адамарда Жана Клода Баре де Сен-Венана, Жана Луи Мари Пуазейля, Осборна Рейнольдса и многих других. Именно этими учеными был существенно развит существовавший на тот момент математический аппарат и была собственно создана классическая гидродинамика. Для того чтобы характеризовать физическое поведение жидкости ими были получены различные системы дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять скорость, давление и плотность жид¬кости как функции от времени и координат точки пространства.
Объектом изучения классической гидродинамики являются идеальные жидкости (жидкости, у которых отсутствуют сдвиговые напряжения) и ньютоновские жидкости (у которых сдвиговые напряжения пропорциональны скорости деформации). Система уравнений, описывающих движение идеальной жидкости, называется системой уравнений Эйлера, а система уравнений, описывающая движение ньютоновской жидкости, носит название си¬стемы уравнений Навье-Стокса. Для данных систем уравнений различные начальные, краевые и начально-краевые задачи исследовались большим количеством авторов. Самыми известными работами по данной тематике явля¬ются работы Ж. Лере, О.А. Ладыженской и Р. Темама. Тем не менее, вот уже на протяжении около ста лет, основной вопрос: проблема существования глобального по времени гладкого решения начально-краевой задачи для системы уравнений Навье-Стокса при гладких начальных данных остается открытым. Пока существование такого решения доказано только для случая плоскопараллельных течений. В трехмерном случае для системы уравнений Навье-Стокса доказано существование решения при малых данных задачи.
Одним из возможных выходов из сложившейся ситуации стало применение обобщенной постановки начальнокраевой задачи с использованием некоторого равенства функционалов. Решения такой задачи называют слабыми решениями, и любое обычное решение всегда является и слабым. Для системы уравнений Навье-Стокса доказано глобальное по времени существование слабого решения начально-краевой задачи. Однако проблема единственности этого решения остается открытой.
С другой стороны, давно было замечено, что многие реальные среды, такие как битумы, полимеры, различные полимерные растворы и расплавы, эмульсии и суспензии, кровь и многие другие не описываются моделями классической (ньютоновской) гидродинамики, хотя по многим признакам близки к жидкостям. Такие объекты получили название "неньютоновские жидкости". "Неньютоновскими"являются, например, жидкости, в которых после прекращения движения напряжения не обращаются мгновенно в нуль, а спадают по некоторому закону, то есть имеет место релаксация напряжений. А также жидкости, в которых после снятия напряжений движение не прекращается мгновенно, а затухает по некоторому закону, то есть имеет место запаздывание деформаций. И также те жидкости, в которых имеют место оба этих эффекта. Впервые подобные модели жидкостей были предложены в XIX веке в работах Дж. Максвелла, Кельвина и Фойгта и были развиты в середине XX века в значительной степени благодаря работам Дж. Г. Олдройта. В настоящее время уже имеется большое число моделей, описывающих разные классы таких сред. К несомненным достоинствам данных моделей следует отнести тот факт, что они учитывают предысторию течения жидкости, что позволяет им быть более точными, по сравнению с моделями классической гидродинамики.
Стоит отметить, что задачи исследования данных моделей имеют большое количество приложений в механике, медицине, полимерной промышленности, в аэродинамике и астрофизике и многих других. Суммируя вышесказанное, можно сказать, что исследование задач математической гидродинамики имеет большую научную значимость (как теоретическую, так и практическую), несомненно носит актуальный характер и имеет большое число приложений.
В работе была исследована разрешимость начально-краевой задачи для модели Осколкова-Павловского. Доказательство основано на аппроксимационно-топологическом подходе к задачам математической гидродинамики, предложенным В.Г. Звягиным и развитом в работах В.Г. Звягина и его учеников (см., например, [10]). На первом шаге операторное уравнение, эквивалентное слабой постановке задачи, аппроксимируется другим операторным уравнением с «хорошими» свойствами и доказывается разрешимость этого уравнения. На втором шаге делается предельный переход, то есть показывается, что из последовательности решений можно извлечь подпоследовательность, слабо сходящуюся к решению исходной задачи при стремлении параметра аппроксимации к нулю.
В заключении магистерской диссертации необходимо отметить, что рас¬сматриваемая математическая модель впервые была введена В.А. Павлов¬ским в работе [1]. Система уравнений (1)-(2) была получена им при экспе¬риментальных исследованиях растворов полиэтиленоксида, полиакриламида и гуаровой смолы (см, например, [2], [3]). Также важно отметить, что дан¬ная модель независимым образом была получена как частный случай модели движения жидкости второго порядка (см, например, [4], [5]).
Впервые начально-краевая задача (1)-(4) была рассмотрена А. П. Оскол¬ковым в работах [6], [7]. Позже в его работе [8] им было замечено, что дока¬зательства в [6], [7] содержат пробелы и что в ограниченной области Q ему методом Галеркина-Фаэдо не удалось доказать теоремы существования сла¬бых решений для данной начально-краевой задачи. В своей работе [9] О.А. Ладыженская отмечает, что метод введения вспомогательной вязкости, ис¬пользованный А. П. Осколковым для изучения этой начально-краевой задачи является ошибочным, и вопрос о существовании решений задачи (1)-(4) оста¬вался открытым.
Применение аппроксимационно-топологического подхода к задачам мате¬матической гидродинамики позволило доказать теорему существования сла¬бых решений для задачи (1)-(4). Доказательство проводилось в несколько этапов. На первом этапе рассмотрена операторная трактовка задачи о сла¬бых решениях в подходящих функциональных пространствах. Затем введено операторное уравнение, аппроксимирующее исходное. Оно получается путем добавления операторов, обладающих более «хорошими» свойствами. На ос¬нове этих «хороших» свойств операторов, теории степени Лере-Шаудера и априорных оценок решений доказана разрешимость аппроксимационной за-дачи. Далее на основе априорных оценок решений, не зависящих от параметра аппроксимации, показано, что из последовательности решений аппроксимаци¬онной задачи можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к решению исходной задачи при стремлении параметра аппроксимации к нулю.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
