Тема: Вычисление полных групп мономиальных автоморфизмов линейных циклических кодов
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
📋 Содержание
Глава 1. Структура линейных циклических кодов 5
1.1. Основные обозначения и определения 5
1.2. Полиномиальное представление линейных циклических
кодов 8
1.3. Покомпонентное произведение C(n,q) - кодов 10
1.4. Подстановки в конечном поле 12
1.5. Симметрия линейных циклических кодов 15
Глава 2. Примеры вычисления полных групп мономиальных автоморфизмов некоторых кодов 17
Пример 1 17
Пример 2 26
Пример 3 28
Заключение 33
Список литературы 34
Приложение
📖 Введение
Актуальность исследования автоморфизмов связана с тем, что группы автоморфизмов играют важную роль при выяснении внутренней структуры кода. Обнаруженные особенности могут помочь в построении новых кодов, в разработке более эффективных алгоритмов кодирования и декодирования.
Кроме того, группа автоморфизмов кода позволяет найти число кодов, которые ему эквивалентны. Код, обладающий большим количеством эквивалентных кодов, может быть использован в криптографических системах как секретный ключ.
Актуальность исследования циклических кодов связана с тем, что благодаря идеям теории полей Галуа, заложенным в основу определения циклических кодов, процедуры кодирования и декодирования являются алгоритмически эффективными.
Целью дипломной работы является исследование и вычисление полных групп мономиальных автоморфизмов некоторых линейных циклических кодов.
Для достижения данной цели определены следующие задачи:
1) реализовать вычисления в конечных полях характеристики 2, в частности
в поле F16:
• операцию сложения;
• операцию умножения;
• возведение в степень;
• нахождение мультипликативного обратного элемента;
2) реализовать операции с многочленами над конечными полями:
• сложение многочленов;
• умножение многочленов;
• нахождение целой части от деления двух многочленов;
• реализовать расширенный алгоритм Евклида для многочленов;
• проверку, является ли многочлен перестановкой;
3) автоматизировать вычисление групп мономиальных автоморфизмов линейных циклических кодов.
Для исследования были выбраны линейные циклические коды длины 15 над конечным полем из четырех элементов. Для каждого кода приводится описание процедуры поиска перестановочных многочленов и множителей и его полной группы мономиальных автоморфизмов.
✅ Заключение
Для того чтобы автоматизировать нахождение полных групп мономиальных автоморфизмов кодов, были реализованы вычисления в конечном поле F16, операции с многочленами над конечными полями, а также решение алгебраических уравнений над конечными полями.