Введение 4
2. Постановка задачи 5
3. Основные обозначения 6
4. Корневые элементы и их действие 7
5. Группы параболического типа с абелевым унипотентным радикалом 10
6. Вспомогательные утверждения 10
7. Основной результат 14
8. Случай присоединённого представления 19
9. Обобщение на случай неабелева унипотентного радикала 20
10. Заключение 23
Список литературы 24
Настоящая работа развивает структурную теорию линейных алгебраических групп над
кольцами. Нормальное строение групп точек редуктивных групп является одной из центральных тем всей структурной теории алгебраических групп на протяжение всего XX века, сотни работ посвящены этой теме. Не имея возможности детально описывать эти результаты, упомянем лишь некоторые наиболее значимые результаты. После первоначального прорыва Х. Басса [9], положившего начало изучению нормального строения линейных групп над общими кольцами, были получены классические результаты Дж. Вилсона
[26] и И. З. Голубчика [2] о классических группах над коммутативным кольцом и результат Э. Абе [6] о произвольных группах Шевалле.
Большой интерес представляет обобщение результатов о нормальном строении групп
Шевалле в двух направлениях. Во-первых, это задача описания подгрупп, нормализуемых
не всей группой или её элементарной подгруппой, а некоторыми меньшими подгруппами.
В частности, в работе А. В. Степанова [4] вводится понятие ”стандартного” расположения
подгрупп, нормализуемых некоторой фиксированной подгруппой. Ранние работы, относящиеся к нормальному строению, перечислены, к примеру, в обзорной части работ [8],
[24], [25], [14]. Из важных недавних работ, не попавших в данные обзоры, имеет смысл
отметить работы А. В. Степанова [23], [5], Р. Пройсера [18], А. К. Ставровой и А. В. Степанова [20].
Второе направление обобщения теории нормального строения заключается в изучении структурной теории нередуктивных групп. В этом направлении результатов, описывающих случай произвольного коммутативного кольца, в настоящее время известно не
так много. Нормальное строение параболических подгрупп в группах Шевалле изучается, к примеру, в работах [7], [19]. Одной из достаточно важных работ является работа
А. К. Ставровой [21], где приводится описание подгрупп максимальной параболической
группы, нормализуемых элементарной подгруппой Леви.
Настоящая работа посвящена переносу результатов работы [21] на более широкий класс
нередуктивных групп. Целью данной работы является описание нормального строения
некоторого класса нередуктивных групп, которые строятся на основе линейного представления редуктивной группы, и по своим свойствам сходны с классом параболических
подгрупп с абелевым унипотентным радикалом в группах Шевалле. Исследуемая задача
имеет весьма высокую научную значимость, о чём свидетельствуют многочисленные публикации с доказательствами различных теорем о нормальном строении линейных групп
над коммутативными кольцами.
Работа устроена следующим образом: во втором разделе изложены некоторые предпосылки к формулировке задачи, третий и четвёртый разделы содержат базовые опреде-
4ления и факты, необходимые для формулировки основного результата. В пятом разделе
вводится определение групп параболического типа с абелевым унипотентным радикалом.
Следующие два раздела содержат формулировку и доказательство основного результата
работы о нормальном строении групп параболического типа с абелевым унипотентным
радикалом. В восьмом разделе обсуждается существенное условие, возникающее в доказательстве основного результата, и влияние этого условия на расположение подгрупп,
нормализуемых элементарной. В последнем разделе работы даются предпосылки для возможного обобщения результатов о нормальном строении групп параболического типа с
абелевым унипотентным радикалом на группы параболического типа с неабелевым унипотентным радикалом.
В настоящей работе получено доказательство теоремы о нормальном строении линейных алгебраических групп параболического типа с абелевым унипотентным радикалом.
А именно, установлено, что при выполнении некоторых условий, касающихся решётки
весов, любая подгруппа, нормализуемая элементарной, распадается в полупрямое редуктивной части и унипотентной части. В исключительном случае, когда проекция старшего
веса на одну из неприводимых компонент системы корней совпадает с соответствующим
максимальным корнем, вычисления на решётках корней, положенные в основу доказательства, неприменимы, и в этом случае выполняется более слабое условие на подгруппы,
нормализуемые элементарной.
Также в работе сформулировано обобщающее понятие линейных алгебраических групп
параболического типа с унипотентным радикалом класса нильпотентности не более 2.
Описание нормального строения для данного класса групп является предметом дальнейших исследований. Также представляет интерес возможность дальнейшего обобщения результатов данной работы на аналогичные по строению нередуктивные группы с унипотентным радикалом более высокого класса нильпотентности.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
