Введение 4
1. Нечётные форменные кольца 8
1.1. Эрмитовы и квадратичные формы 8
1.2. Категории 9
1.3. Квадратичные отображения 11
1.4. Нечётные форменные кольца 14
1.5. Нечётные форменные алгебры 16
1.6. Элементарные унитарные группы 20
1.7. Унитарные группы Стейнберга 23
2. Классические редуктивные группы 27
2.1. Нильпотентные модули класса 2 27
2.2. Аугментированные нечётные форменные алгебры 30
2.3. Классические нечётные форменные алгебры 32
2.4. Скрученные формы классических групп 37
2.5. Классические изотропные редуктивные группы 40
3. Центральность К2-функтора 43
3.1. Про-объекты 43
3.2. Колокализация 47
3.3. Прочные разложения Пирса 49
3.4. Исключение корней 52
3.5. Условия конечности 58
3.6. Скрещенные модули Стейнберга 61
Заключение 65
Список литературы 66
Купить

В данной работе мы разовьём технику про-групп Стейнберга и применим её к задаче о центральности К2-функтора для нечётных унитарных групп. Также мы докажем, что изотропные классические группы можно построить как нечётные унитарные группы.
Унитарные группы — это обобщение классических матричных групп, то есть полных линейных, симплектических и ортогональных групп, на произ­вольные ассоциативные кольца с единицей. Существуют различные опреде­ления унитарных групп, например, [5,13,22,23,24,31,32, 53,60,61]. Э. Бакв [6] определил унитарные группы как стабилизаторы двух классических форм на модуле, эрмитовой и квадратичной, где квадратичная форма принимает значения в факторгруппе кольца. Этот подход был обобщён В. Петровым в [2], где он определил нечётные унитарные группы с помощью квадратичных форм со значениями в произвольных абелевых группах.
Существует другое обобщение классических групп, основанное на тео­рии редуктивных групповых схем [20, 21]. Если G — это классическая ре- дуктивная групповая схема, то её скрученные формы в fppf топологии часто можно построить как унитарные групповые схемы [32], по крайней мере над полем характеристики, не равной 2.
Многие результаты младшей алгебраической K-теории были обобщены на унитарные группы [12, 14, 25, 28, 41, 52]. Для нечётных групп известно, что при естественных условиях
• элементарные подгруппы нормальны [2, 3, 51],
• выполняется стандартное описание нормальных подгрупп [10, 42, 43, 48],
• Ki-функтор стабилизируется [2, 9, 11, 59, 63],
• нестабильная группа Стейнберга центрально замкнута [33, 49, 55],
• нестабильный Ki -функтор является расширением абелевой группы при помощи нильпотентной [7, 8, 27, 64].
Старшая унитарная K-теория рассматривается в работах М. Шлихтинга, на­пример, в [44].
Также известно, что нестабильный ^-функтор централен (то есть неста­бильная группа Стейнберга является центральным расширением элементар­ной подгруппы) в случаях
• полных линейных групп над коммутативными кольцами, согласно ра­боте В. ван дер Каллена [54];
• полных линейных групп над почти коммутативными кольцами, это ре­зультат М. Туленбаева [4];
• групп Шевалле типов C, D, E, что следует из работ С. Синчука и А. Лавренова [34, 35, 46];
• изотропных ортогональных групп над полями, согласно статье С. Беге [15];
• изотропных редуктивных групп над локальными кольцами, это резуль­тат А. Ставровой [47].
Доказательства для нелокальных колец используют вычисления с относи­тельными группами Стейнберга или «другое представление» группы Стейн­берга, они также существенно используют матричную структуру группы и не обобщаются на изотропные редуктивные группы. Для полных линейных групп на самом деле известно, что группа Стейнберга является скрещенным модулем над полной линейной группой, откуда следует нормальность эле­ментарной подгруппы и центральность ^-функтора.
В главе 1 мы дадим новую конструкцию унитарных групп, основанную на алгебраических объектах, называемых нечётными форменными кольцами. Категория нечётных форменных колец оказывается алгебраически когерент­ной полуабелевой в смысле [16, 18], поэтому в этой общности легко исполь­зовать релятивизацию М. Стейна [50] в терминах внутренних скрещенных модулей [19].
Нечётное форменное кольцо (Л, Д) состоит из кольца R без единицы и с инволюцией, а также «нечётного форменного параметра» Д, который ана­логичен нечётным форменным параметрам из определения В. Петрова. Если (R, А) имеет подходящее разложение Пирса, то можно определить элемен­тарную подгруппу EU(A, А) < U(A, А) унитарной группы и группу Стейн­берга StU(A, А). Образующие элементарной этих групп параметризуются си­стемой корней типа BQ.
Глава 2 содержит конструкцию нечётных форменных алгебр по класси­ческим редуктивным групповым схемам. Основные результаты этой главы таковы:
Теорема. Пусть G — это редуктивная групповая схема над коммутатив­ным кольцом К с единицей, являющаяся скрученной формой классической групповой схемы в fppf топологии. Тогда G можно построить из классиче­ской нечётной форменной К-алгебры (R, А), используя унитарную группо­вую схему или групповую схему автоморфизмов (переходя к послойным ком­понентам связности и производным групповым подсхемам).
Теорема. Пусть G — это изотропная редуктивная групповая схема над ком­мутативным кольцом К с единицей, являющаяся скрученной формой класси­ческой групповой схемы в fppf топологии. Тогда соответствующая нечётная форменная К-алгебра (R, А) имеет каноническое разложение Пирса, зада­ющее изотропную структуру на G.
Классическими групповыми схемами мы называем произведения груп­повых схем Шевалле GL, SL, PGL, SO, PSO, Sp и PSp. Для того, чтобы при­менять строго плоский спуск к нечётным форменным алгебрам, мы исполь­зуем понятия 2-нильпотентных модулей и аугментированных нечётных фор­менных алгебр. В отличие от нечётных форменных колец, такие объекты не образуют многообразия алгебр, потому что в их определениях используются подмножества с дополнительными операциями. В нашей конструкции рас- щепимых классических нечётных форменных алгебр (Я, А) кольцо R явля­ется алгеброй Азумайи с инволюцией и А является наибольшим нечётным форменным параметром, по крайней мере при обратимой 2.
Наконец, в главе 3 мы изучаем нечётные форменные про-кольца и их про­группы Стейнберга. Мы используем такие объекты для доказательства цен­тральности ^-функтора с помощью следующего приёма локализации. Пусть К — это коммутативное кольцо с единицей, (Я, А) — это нечётная формен­ная К-алгебра, и р G Spec (К-) — простой идеал. Тогда унитарная группа U(BP, Ар) имеет достаточно хорошее представление через элементарные об­разующие, поэтому можно пробовать построить её действие на группе Стейн­берга. Но из-за наличия знаменателей на самом деле действие приходится строить на про-группах Стейнберга StU( /? х 'р , А х 'р L где «колокализации» (/? х'р . а(то’Р)) получаются из (Я, А) двойственной конструкцией к локали­зации. Наконец, мы покажем, что эти про-группы склеиваются в исходную группу Стейнберга StU(B, А). Основной результат имеет вид
Теорема. Пусть (R, А) — это нечётная форменная К-алгебра с разложе­нием Пирса. Предположим, что разложение Пирса достаточно изотропно и (R, А) локально конечна над К. Тогда группа Стейнберга StU(B, А) имеет единственную структуру скрещенного модуля над U(R, А).
Совмещая это с результатами главы 2, получается, что все классические односвязные достаточно изотропные редуктивные схемы имеют централь­ные ^-функторы. Также этот результат легко применить к изотропным уни­тарным группам В. Петрова, таким как вырожденные ортогональные груп­пы. Наш результат не применим к редуктивным группам изотропного ранга меньше 3, но уже для групп Шевалле ранга 2 есть контрпримеры [62].
Для построения требуемого действия унитарных групп на про-группах Стейнберга нам потребуется технический результат об «исключении» кор­ней, то есть представлении меньшим набором образующих.
Теорема. Пусть (R, А) — это нечётное форменное про-кольцо с разложени­ем Пирса, параметризованным системой корней Ф типа BQ. Предположим, что разложение Пирса достаточно изотропно. Тогда для любого корня а про-группа Стейнберга StU(B, А; Ф канонически изоморфна StU(B, А; Ф/q), где Ф/а — это система относительных корней (то есть a-серий в Ф/
Метод про-групп Стейнберга имеет приложения к исключительным груп­пам Шевалле [37] и другим задачам классической алгебраической K-теории [36, 38, 56].
Результаты данной работы опубликованы в статьях [1, 57, 59] и препринте [58].
Купить