Введение 3
Глава 1. Основные понятия общей теории групп и графов 5
1.1. Понятия теории групп, в частности образующих групп 5
1.2. Понятия теории графов и их определения 8
1.3. Графы некоторых групп: циклических групп, групп кватернионов,
симметрической группы S, группы додекаэдра 13
Глава 2. Группа кватернионов 20
2.1. Построение всех подгрупп группы кватернионов 20
Глава 3. Теорема характеризующая все конечные группы в терминах групп автоморфизмов конечных неориентированных графов 23
3.1. Теорема Фрухта, как представление любой конечной группы в виде
группы автоморфизмов некоторого графа 23
Глава 4. Практическая часть 26
Заключение 33
Список использованной литературы 35
Теория групп начала оформляться в качестве самостоятельного раздела математики в конце восемнадцатого века, В течение первых десятилетий девятнадцатого века она развивалась медленно и практически не привлекала к себе внимания. Но затем, около 1830 года, всего за несколько лет она совершила гигантский скачок, который оказал глубокое влияние на развитие всей математики.
Графы возникли в восемнадцатом столетии, когда известный математик, Леонард Эйлер, пытался решить классическую задачу о Кенигсбергских мостах. В то время в городе Кенигсберге было два острова, соединенных семью мостами с берегами реки Преголь и друг с другом. Графы представляют собой наиболее абстрактную структуру, которые используются для описания алгоритмов автоматического проектирования, в диаграммах машины конечных состояний, при решении задач
маршрутизации потоков и т.д. Любая система, предполагающая наличие дискретных состояний или наличие узлов и переходов между ними может быть описана графом.
Цель: изучение конечных групп и их графов.
На основании поставленной цели, при выполнении данной работы были выдвинуты следующие задачи:
- изучить теорию групп, в частности образующих групп;
- изучить теорию графов и графы некоторых групп: циклических групп,
группа кватернионов, симметрической группы S, группы додекаэдра; -выявить группу кватернионов и построение всех подгрупп группы кватернионов;
-определить теорему характеризующую все конечные группы в терминах групп автоморфизмов конечных неориентированных графов.
Объект исследования: конечные группы и их графы.
Предмет исследования: конечные группы и их графы.
Как это ни удивительно, но для понятия «граф» нет общепризнанного единого определения. Разные авторы, особенно применительно к разным приложениям, называют «графом» очень похожие, но все-таки различные объекты. Здесь используется терминология, которая была выбрана из соображений максимального упрощения определений и доказательств.
Итак, теория групп занимает важный раздел неколичественной математики, которая дала мощные средства для исследования алгебраических уравнений, геометрических преобразований а также для решения ряда задач топологии и теории чисел.
В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения, как в самой математике, так и за ее пределам - в топологии, теории функций,кристаллографии, квантовой механике и других областях математики естествознания.
Рассмотрев основные предпосылки возникновения теории групп, увидели, что впервые выступают не как вспомогательный инструмент рассуждения, а как основной объект исследования. Вскоре началось уже систематическое развитие теории групп.
Узнали, что теории групп прошла длинный путь прежде, чем выйти на современный путь.
Не сразу математики осознали, что при изучении математических объектах на самом деле изучаются свойство заданных в них алгебраических операций и что эти объекты следует определять аксиоматически, указывая исходные свойства операций и игнорируя природу элементов, над которыми операции производятся.
Также потребовалось немало времени, чтобы перейти от рассмотрения конечных групп к бесконечным группам.
Результаты усилий нескольких поколений математиков принесли свои плоды. Теория групп раскрылась в полной своей мере и изменила своим появлением алгебру. Она существенно повлияла на другие сферы математики благодаря, а также дала начало некоторым новым областям.
К примеру, её появление изменило теорию решений уравнений. Были найдены ответы на вековые вопросы с помощью этой теории. Проникнув в геометрии, теория групп способствовало тому, что геометрия стало более единообразной. Более того, как упоминалось, оказалось возможным переформулировать многие сложные геометрические задачи на язык теории групп и благодаря этому быстро их решить.
Графы - это замечательные математические объекты, с помощью, которых можно решать математические, экономические и логические задачи. Также можно решать различные головоломки и упрощать условия задач. Сама теория графов является частью как топологии, так и комбинаторики.
Таким образом, я сделала вывод, что изучение теории групп и их графов актуально для всестороннего развития учащегося.
После преодоленной работы можно сделать следующий вывод:
Графы широко используется как в самой математике, так и в ее приложениях. Они применяются при построении различных математических моделей: линий электропередачи, сетей автодорог, линий воздушных сообщений и пр.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
