Введение 3
Глава 1. Структура линейных циклических кодов 5
1.1. Основные обозначения и определения 5
1.2. Полиномиальное представление линейных циклических
кодов 8
1.3. Покомпонентное произведение C(n,q) - кодов 10
1.4. Подстановки в конечном поле 12
1.5. Симметрия линейных циклических кодов 15
Глава 2. Примеры вычисления полных групп мономиальных автоморфизмов некоторых кодов 17
Пример 1 17
Пример 2 26
Пример 3 28
Заключение 33
Список литературы 34
Приложение
При изучении свойств симметрии различных объектов возникает понятие автоморфизма этого объекта. Группа автоморфизмов является важной мерой симметрии.
Актуальность исследования автоморфизмов связана с тем, что группы автоморфизмов играют важную роль при выяснении внутренней структуры кода. Обнаруженные особенности могут помочь в построении новых кодов, в разработке более эффективных алгоритмов кодирования и декодирования.
Кроме того, группа автоморфизмов кода позволяет найти число кодов, которые ему эквивалентны. Код, обладающий большим количеством эквивалентных кодов, может быть использован в криптографических системах как секретный ключ.
Актуальность исследования циклических кодов связана с тем, что благодаря идеям теории полей Галуа, заложенным в основу определения циклических кодов, процедуры кодирования и декодирования являются алгоритмически эффективными.
Целью дипломной работы является исследование и вычисление полных групп мономиальных автоморфизмов некоторых линейных циклических кодов.
Для достижения данной цели определены следующие задачи:
1) реализовать вычисления в конечных полях характеристики 2, в частности
в поле F16:
• операцию сложения;
• операцию умножения;
• возведение в степень;
• нахождение мультипликативного обратного элемента;
2) реализовать операции с многочленами над конечными полями:
• сложение многочленов;
• умножение многочленов;
• нахождение целой части от деления двух многочленов;
• реализовать расширенный алгоритм Евклида для многочленов;
• проверку, является ли многочлен перестановкой;
3) автоматизировать вычисление групп мономиальных автоморфизмов линейных циклических кодов.
Для исследования были выбраны линейные циклические коды длины 15 над конечным полем из четырех элементов. Для каждого кода приводится описание процедуры поиска перестановочных многочленов и множителей и его полной группы мономиальных автоморфизмов.
Цель работы заключалась в вычислении полных групп мономиальных автоморфизмов некоторых линейных циклических кодов. Для исследования были выбраны линейные циклические коды длины 15 над полем F4.
Для того чтобы автоматизировать нахождение полных групп мономиальных автоморфизмов кодов, были реализованы вычисления в конечном поле F16, операции с многочленами над конечными полями, а также решение алгебраических уравнений над конечными полями.
