ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1 ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 7
1.1 Исходная постановка задачи 7
1.2 Переход к проективному пространству 9
1.3 Нахождение особенностей преобразования 11
1.4 Спектр дифференциала отображения 13
1.4.1 Спектр дифференциала в нулевой точке (1,0,0,0) 14
1.4.2 Спектр дифференциала в бесконечно удаленной точке (0,0,0,1) 18
1.4.3 Анализ полученных спектров дифференциалов 22
ГЛАВА 2 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА 23
2.1 Визуализация отображения 23
2.1.1 Визуализация средствами Тао Framework 24
2.1.2 Визуализация с помощью проекции на 3 координатные плоскости 29
2.1.3 Анализ полученных данных 31
2.2 Численные эксперименты 34
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 46
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 47
ПРИЛОЖЕНИЕ 49
Приложение 1 49
Программа визуализации отображения в эмуляции трехмерного пространства 49
Файл Forml.cs 49
Файл MyMath.cs 58
Файл Camera.cs 64
Файл Matrix.cs 77
Приложение 2 83
Программа визуализации отображения в проекции на три координатные плоскости 83
Файл Forml.cs 83
Файл Point4D.cs 88
Приложение 3 90
Программа для проведения численных экспериментов 90
Файл Forml.cs 90
Файл TransformerC.cs 99
Во многих областях науки исследователи все чаще и чаще используют математические модели для предсказания поведения объектов исследований. Провести ряд экспериментов с моделью оказывается намного проще, дешевле. Полученные результаты таких исследований могут послужить для дальнейшего развития теории и, возможно, построения новых, более точных, моделей. Для создания математических моделей можно использовать различные подходы, такие как статистические модели, модели теории игр, дифференциальные уравнения, динамические системы. Модели многих реальных процессов могут быть представлены с помощью динамических систем. В таких моделях над точками фазового пространства — состояниями динамической системы — действует закон эволюции системы, при помощи которого по состоянию системы в некоторый момент времени можно определить состояние системы в следующий момент времени. Последовательность таких состояний образует траекторию динамической системы. Обычно состояния системы описываются набором вещественных чисел. Динамическая система может быть задана различными способами: дифференциальными уравнениями — в случае, если время в модели непрерывно, или разностными уравнениями, если время дискретно. В теории динамических систем в центре внимания стоит изучение асимптотического поведения, т.е. поведения системы при устремлении времени к бесконечности, особенно при наличии нетривиального возвращения. Ставится ряд вопросов об эволюции системы, например, может ли система прийти в одно из состояний, в которых она была раньше; насколько похожи процессы эволюции системы при близких начальных состояниях.
Широкое применение динамических систем как моделей реальных процессов в различных областях естествознания способствовало интенсивному развитию компьютерных методов их исследования. Методы численного анализа позволяют строить траектории на конечном интервале времени, при этом внимание уделяется точности построений. Практика показала, что для успешного изучения сложных динамических систем и их долгосрочного поведения необходимы новые компьютерно-ориентированные методы, которые позволяют определять асимптотику поведения траекторий. Разработка и реализация программного комплекса, который объединяет методы определения важных характеристик систем со сложным поведением траекторий, является актуальной задачей [1,2 ,3].
Цель данной диссертации - изучить методы компьютерной геометрии в исследованиях динамических систем. В качестве примера была взята система, порожденная динамикой ренормализационной группы иерархической фермионной трехкомпонентной модели в пространстве констант связи. Метод ренормализационной группы (также часто называемый методом ренормгруппы, методом РГ) в квантовой теории поля — итеративный метод перенормировки, в котором переход от областей с меньшей энергией к областям с большей вызван изменением масштаба рассмотрения системы [4]. В теоретической физике метод ренормализационной группы относится к математическому аппарату, который позволяет систематическое исследование изменений физической системы при рассмотрении системы на разных пространственных масштабах [5]. В физике элементарных частиц он отражает зависимость законов взаимодействия от масштаба энергий, при которых физические процессы начинают меняться. Обширное применение метода реномгруппы во множестве практических задачах, таких как проблемы гидродинамики, сильно развитой турбулентности и физики элементарных частиц, обусловили выбор данного преобразования в качестве основы для динамической системы.
Исходя из цели, в рамках диссертации были поставлены следующие задачи:
1) Сформулировать преобразование реномгруппы в пространстве констант связи (r,g,s)
2) < Осуществить переход из пространства констант связи к , проективным координатам
3) Найти точки сингулярности и неподвижные точки преобразования
4) Вычислить спектр дифференциала в неподвижных точках.
5) Разработать программный продукт для визуализации динамики преображения.
6) Провести численные эксперименты для проверки корректности выявленных закономерностей.
Целью дипломной работы являлось изучение методов компьютерной геометрии в исследовании динамической системы на примере системы, порожденной преобразованием ренормализационной группы иерархической фермионной трехкомпонентной модели. В ходе выполнения работы были получены следующие результаты:
1) найдено преобразования координат из пространства констант связи в проективное пространство, что существенно упростило отображение динамической системы;
2) найдены точки сингулярности и неподвижные точки преобразования в проективных координатах;
3) вычислен спектр дифференциала преобразования в неподвижных точках;
4) разработан программный продукт, визуализирующий динамику поведения ренормализационной группы, в двух вариациях: в виде проекции на три координатные плоскости и в эмуляции трехмерного пространства;
5) проведены численные эксперименты, показавшие наличие глобальных точек равновесия, зависящих от параметра X.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
