Введение
1. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 6
1.1 Нахождение неподвижных точек 6
1.2 Исследование устойчивости неподвижных точек 10
1.3 Переход в проективное пространство 14
1.4 Обнаружение неподвижных точек в проективном пространстве 17
1.5 Определение устойчивости найденных в проективном пространстве неподвижных точек...19
1.6 Исследование инвариантных подмножеств 23
2. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА 25
2.1 Визуализация итераций точек 26
2.2 Классификация вариантов устойчивости точек и определение их зон притяжения 28
2.3 Визуализация инвариантного подмножества 36
2.4 Классификация точек инвариантного подмножества по способу притяжения к устойчивой точке 37
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 43
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 44
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 46
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования, суть которого состоит в замене исходного объекта или явления его образом - математической моделью и дальнейшем её изучении с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность относительно быстро и без серьёзных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и машин, подробно изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента). Неудивительно, что методология математического моделирования стремительно развивается, охватывая все новые сферы - от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов. [1]
Модели многих реальных процессов как в естествознании, так и в экономике могут быть представлены с помощью динамических систем.
Динамическая система - любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния (называемого точками фазового пространства), как совокупности некоторых величин в некоторый момент времени, и задан закон, описывающий эволюцию начального состояния с течением времени. Последовательность состояний образует траекторию динамической системы. Состояния системы зачастую описываются набором вещественных чисел.
Динамическая система может быть задана различными способами: фазовыми потоками (дифференциальными уравнениями) в случае, если время в модели непрерывно, или каскадами, то есть многократным применением некоторого отображения к точкам фазового пространства.
В теории динамических систем в центре внимания стоит изучение асимптотического поведения, т.е. поведения системы при устремлении времени к бесконечности, особенно при наличии нетривиального возвращения. При исследовании динамических систем частыми являются такие вопросы, как:
• Есть ли у системы замкнутые фазовые кривые, то есть может ли она когда- нибудь вернуться в начальное состояние в ходе эволюции?
• Как устроены инвариантные многообразия системы
• Как устроен аттрактор системы, то есть множество в фазовом пространстве, к которому стремится «большинство» траекторий?
• Как ведут себя траектории, выпущенные из близких точек — остаются ли они близкими или уходят со временем на значительное расстояние?
• Что можно сказать о поведении динамических систем, «близких» к некоторой данной? [2]
Широкое применение динамических систем как моделей реальных процессов в различных областях естествознания способствовало интенсивному развитию компьютерных методов их исследования. Методы численного анализа позволяют строить траектории на конечном интервале времени, при этом внимание уделяется точности построений. Практика показала, что для успешного изучения сложных динамических систем и их долгосрочного поведения необходимы новые компьютерно-ориентированные методы, позволяющие определять асимптотику поведения траекторий. Реализация программного комплекса, который объединяет методы определения важных характеристик систем со сложным поведением траекторий, является актуальной задачей.
Целью данной работы является исследование определенного класса динамических систем аналитически и с помощью методов компьютерной геометрии. Для исследования была выбрана двумерная динамическая система, задаваемая рациональным отображением:
3) Определение зон притяжения устойчивых (притягивающих) неподвижных точек.
4) Исследование глобального поведения динамической системы с помощью перехода из евклидового пространства в проективное.
5) Поиск инвариантных подмножеств динамической системы.
6) Разработка программного комплекса визуализации итераций отображения и проведение численных экспериментов.
Целью дипломной работы являлось исследование определенного класса динамических систем аналитически и с помощью методов компьютерной геометрии. В ходе выполнения работы были получены следующие результаты
1) Определено существование неподвижных точек рационального
отображения (1) при произвольных параметрах а и b
2) Найдены неподвижные точки в явном виде.
3) Определены варианты устойчивости найденных неподвижных точек.
4) Определены зоны притяжения устойчивых (притягивающих)
неподвижных точек.
5) Исследовано глобальное поведение динамической системы с
помощью перехода из евклидового пространства в проективное.
6) Найдены инвариантные подмножества динамической системы.
7) Разработан программный комплекс визуализации итераций
отображения и проведён ряд численных экспериментов и классификация точек
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
