При исследовании задач для нелинейных уравнений с частными производными рассматриваются вопросы о существовании решения, о числе решений, об отсутствии решения, о разрушении решения, о бифуркации (ветвлении) решения, об асимптотике решения при аргументе, стремящемся к границе, в частности к бесконечности, в случае неограниченных областей. Теория таких задач имеет два аспекта: локальный и глобальный.
Локальная теория относительно полно развита для общих нелинейных задач, принадлежащих либо к эллиптическому типу, либо к параболическому типу, либо к гиперболическому типу. Эта теория основана на теореме о неявной функции из нелинейного функционального анализа и общей теории линейных задач соответствующего типа.
В случае краевых (смешанных) задач для нелинейных параболических либо гиперболических уравнений эта локальная теория позволяет установить разрешимость задачи либо на достаточно малом временном промежутке, либо на фиксированном временном промежутке при условии достаточно малого отклонения (в соответствующей метрике) данных задачи от данных известного решения (как правило, нулевого решения) близкой задачи.
Глобальная теория нелинейных задач развита менее полно и только для отдельных классов уравнений.
Нелинейные уравнения с частными производными первого порядка. Для широкого класса квазилинейных скалярных уравнений первого порядка вида — + —~Vi (t, X, и) + /(t, x, и) = 0 ,
dt г= dxt
установлена теорема существования и единственности решения задачи Коши с начальным условием при t=0 для всех t>0.
Для более узкого класса уравнений вида нелинейные уравнения с частными производными первого порядка рассмотрены также вопросы асимптотики решений таких задач при t ^ +да и краевые задачи.
Теория систем квазилинейных уравнений с частными производными развита менее полно.


Купить