ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1 СИСТЕМЫ ДВУХ СОВМЕСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 5
1.1. Система двух совместных уравнений первого порядка 5
1.2. Уравнение Пфаффа 12
ГЛАВА 2 ПОЛНЫЙ, ОБЩИЙ И ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 22
2.1. Полный, общий и особый интегралы уравнения с частными
производными первого порядка 22
2.2. Метод Коши для двух независимых переменных 34
ГЛАВА 3 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА 51
3.1. Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка 51
3.2. Решение задачи о нахождении интегральной поверхности, проходящей
через заданную кривую 51
3.3. Метод Коши 52
3.4. Обобщение метода Коши 53
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 71
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 73
При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти законы, связывающие физические величины, но сравнительно легко устанавливается зависимость между теми же величинами, их производными или дифференциалами.
Актуальность. Многие задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных первого порядка. К решению некоторых из них применимы аналитические методы, разработанные в классических трудах основателей математического анализа. Общая теория дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для случая трех переменных была разработана Лагранжем в работах 70х гг. XVIII в. Распространение теории на случай n переменных осуществил Коши (1819 г.).
Целью данной работы является изучение теории уравнения Пфаффа и методов решения задачи Коши.
Задачи:
— изучить теорию уравнений с частными производными первого порядка,
— проанализировать поведение решений некоторых типов указанных уравнений.
— построить решения нелинейных уравнений с частными производными первого порядка
Объект исследования: уравнения в частных производных первого порядка
Методы исследования: метод Коши, метод Лагранжа-Шарпи и метод введения параметра.
При исследовании задач для нелинейных уравнений с частными производными рассматриваются вопросы о существовании решения, о числе решений, об отсутствии решения, о разрушении решения, о бифуркации (ветвлении) решения, об асимптотике решения при аргументе, стремящемся к границе, в частности к бесконечности, в случае неограниченных областей. Теория таких задач имеет два аспекта: локальный и глобальный.
Локальная теория относительно полно развита для общих нелинейных задач, принадлежащих либо к эллиптическому типу, либо к параболическому типу, либо к гиперболическому типу. Эта теория основана на теореме о неявной функции из нелинейного функционального анализа и общей теории линейных задач соответствующего типа.
В случае краевых (смешанных) задач для нелинейных параболических либо гиперболических уравнений эта локальная теория позволяет установить разрешимость задачи либо на достаточно малом временном промежутке, либо на фиксированном временном промежутке при условии достаточно малого отклонения (в соответствующей метрике) данных задачи от данных известного решения (как правило, нулевого решения) близкой задачи.
Глобальная теория нелинейных задач развита менее полно и только для отдельных классов уравнений.
Нелинейные уравнения с частными производными первого порядка. Для широкого класса квазилинейных скалярных уравнений первого порядка вида — + —~Vi (t, X, и) + /(t, x, и) = 0 ,
dt г= dxt
установлена теорема существования и единственности решения задачи Коши с начальным условием при t=0 для всех t>0.
Для более узкого класса уравнений вида нелинейные уравнения с частными производными первого порядка рассмотрены также вопросы асимптотики решений таких задач при t ^ +да и краевые задачи.
Теория систем квазилинейных уравнений с частными производными развита менее полно.
