Актуальность исследования. Интегральное уравнение Фредгольма — интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо по имени шведского математика Ивара Фредгольма, известного работами по теории линейных интегральных уравнений и теории операторов. Фредгольм ввёл и затем анализировал целый класс интегральных уравнений, впоследствии названных уравнениями Фредгольма. В рамках своей теории он изучал обобщение понятия определителя, а также доказал ряд теорем. Со временем исследование уравнения Фредгольма выросло в самостоятельный раздел функционального анализа — теорию Фредгольма, которая изучает ядра Фредгольма и операторы Фредгольма.
Общая теория, основанная на уравнениях Фредгольма, известна как теория Фредгольма. В теории рассматривается интегральное преобразование специального вида ^0) = I K(s, t)
Одним из основополагающих результатов является факт, что ядро K есть компактный оператор, известный как оператор Фредгольма. Как к оператору, к ядру может быть приложена спектральная теория, изучающая спектр собственных значений.
Цель исследования: изучить элементы теории интегральных уравнений Фредгольма
Задачи:
- Изучить метод последовательных приближений; свойства интегральных уравнений с вырожденным ядром, теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром, теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с непрерывным ядром, следствия из теорем Фредгольма; методы решения интегральных уравнений с помощью резольвенты.
Объект исследования: интегральные уравнения и операторы.
Предмет исследования: интегральные уравнения Фредгольма первого и второго рода.
Структура и объём работы. Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 49 страницах, включая формулы. Список литературы содержит 15 наименований.
В данной работе были изучены элементы теории интегральных уравнений Фредгольма. Помимо этого, были рассмотрены методы решения интегральных уравнений Фредгольма.
В первой главе изложены основные понятия и разновидности интегральных уравнений (интегральные уравнения с непрерывным ядром, интегральные уравнения Вольтерра, интегральные уравнения с вырожденным ядром), сформулированы и доказаны теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром, для интегральных уравнений с непрерывным ядром, изложены следствия из теорем Фредгольма.
В второй главе были рассмотрены задачи. В частности
- задачи на связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтерра;
- на применение резольвенты интегрального уравнения Вольтерра;
- на применение метода последовательных приближений.
