ВВЕДЕНИЕ 3
1 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ЗАДАЧИ 5
1.1 Описание исследуемой задачи 5
1.2 Анализ существующих решений 9
2 РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННОЙ СХЕМЫ 13
2.1 Анализ и выбор вычислительного метода 13
2.2 Построение и тестирование алгоритма 19
3 ПРОВЕДЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА И
КОРРЕКТИРОВКА РАЗРАБОТАННОГО АЛГОРИТМА 26
3.1 Планирование и осуществление вычислительного эксперимента 26
3.2 Модификация алгоритма 34
4 СРАВНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ МЕХАНИЧЕСКИХ
КВАДРАТУР И АПРОКСИМАЦИИ ЯДРА ВЫРОЖДЕННЫМ 44
4.1 Метод вырожденных ядер 44
4.2 Аппроксимация ядра вырожденным 45
4.3 Сравнительный анализ рассмотренных методов 48
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 51
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 52
ПРИЛОЖЕНИЕ А Основной блок программы 57
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Подпрограмма решения СЛАУ 59
ПРИЛОЖЕНИЕ В Подпрограмма решений интегральных уравнений 60
ПРИЛОЖЕНИЕ Г Таблица вычисленных собственных значений интегрального уравнения (алгоритм (2.6)) 63
ПРИЛОЖЕНИЕ Д Таблица вычисленных собственных значений интегрального уравнения (алгоритм (3.16)) 67
ПРИЛОЖЕНИЕ Е Графическое сравнение алгоритмов (2.6) и (3.16)
Во всех областях современной фундаментальной науки и технических областях деятельности человека зачастую приходится сталкиваться с математическими задачами решения интегральных уравнений, для которых не существует точных решений в явном виде (классических решений), либо эти решения в конечном итоге представляют собой настолько сложные и объемные функциональные зависимости или системы уравнений, что применять их на практике неприемлемо. В таких случаях существует возможность применения численных методов решения интегральных уравнений. Но при этом исследователь того или иного процесса также может столкнуться с рядом проблем, обусловленных, в частности, некорректностью поставленных задач, недостаточной точностью таких вычислений, либо отсутствием возможности дальнейшего применения полученных результатов ввиду их громоздкости. Целью данной работы является проведение анализа целесообразности применения квадратурного метода прямоугольников решения интегральных уравнений с точки зрения точности получаемых результатов.
Существующие алгоритмы, реализующие численные методы, в основной своей массе не дают оценок погрешности получаемых результатов, либо вычисление погрешности производится после получения результата по заданным параметрам, используемым в алгоритмизации процесса вычислений. Другими словами, исследователь получает качественную оценку полученных результатов после полной реализации алгоритма.
Если метод итераций [7] основан на приближении искомых зависимостей по заданным параметрам погрешности вычислений, то аппарат метода квадратур как таковой может и не давать такой оценки. Соответственно, при такой постановке задачи необходимо прямо указать на необходимость задания погрешности вычислений как основного параметра, который напрямую будет управлять последующим вычислительным процессом.
Кроме разработки первичных процедур определения приемлемости будущего решения в работе уделено особое внимание качественной оценке получаемых результатов вычислений по объему информации, т.к. в случае очень мелкого разбиения сетки, объемы хранимой и обрабатываемой информации увеличиваются квадратично, соответственно для данного метода существует ограничение по машинной производительности.
В существующих методах численного интегрирования оценки погрешности вычислений приводятся, но при этом дается общая оценка приемлемости результата как такового, причем даже при погрешности вычислений 0,5 такой результат зачастую оказывается приемлемым. В работе особое внимание уделено разработке алгоритма определения действительной погрешности вычислений с учетом погрешности задаваемых в качестве исходных данных параметров, которые при использовании методов численного интегрирования обычно получаются путем проведения эксперимента с фиксацией измеренных параметров протекания процесса.
В рамках выполненной квалификационной работы проводится анализ метода квадратур с целью повышения точности вычислений и создания аппарата автоматизированного выбора количества разбиений сетки путем задания качественных критериев оценки получаемых результатов вычислений.
Объектом исследования в данной работе является метод квадратур численного решения интегральных уравнений. При этом под предметом проводимых в работе исследований следует понимать автоматизацию процесса выбора алгоритма по заданным качественным оценочным критериям.
1. В общепринятых положениях по применению численных методов интегрирования при решении уравнений Фредгольма (I и II рода) довольно редко прибегают к действительному оцениванию получаемых результатов с точки зрения глобальной погрешности таких результатов. Однако такая оценка имеет непосредственную практическую ценность при проведении исследований в различных областях науки и техники.
2. Решение интегральных уравнений при невозможности проведения экспериментов и получения таких решений классическими методами практически исключает возможность такой оценки. Соответственно, требуется разработка численных методов, обладающих свойствами самодиагностики и исключения неопределенностей получаемых результатов.
3. Высокая степень достоверности получаемых результатов могла бы положить начало разработке новых численных методов интегрирования, которые, в свою очередь, могли бы обеспечить сведение к минимуму вероятности возникновения ошибки вычислений.
4. Для реализации этих положений требуется проведение дополнительных экспериментов (исследований) с целью оценки достоверности полученных в работе результатов и разработки возможных вариантов адаптации алгоритма решения интегральных уравнений методом механических квадратур по формулам прямоугольников к конкретным поставленным задачам.
5. В ходе работы были проведены вычислительные эксперименты и сделаны выводы на основании анализа полученных результатов в отношении решений интегральных уравнений, полученных классическими методами, а также в отношении решений, полученных методом аппроксимации ядра вырожденным. При этом необходимо заметить, что разработанный алгоритм на каждом этапе вычислений производит оценку глобальной погрешности вычислений, благодаря чему он может быть использован при проведении анализа точности получаемых решений другими методами численного интегрирования (метод вырожденных ядер, метод наименьших квадратов, метод Галеркина-Петрова, метод коллокации, метод простой итерации, метод моментов и другие).
6. Тот факт, что современные вычислительные устройства, методы поточных вычислений, создаваемые нейронные сети и центры уже сейчас обладают практически неограниченными возможностями в части объемов обрабатываемой информации, делает возможным решение интегральных уравнений с очень высокой степенью сжатия сеток. В работе рассмотрен и применен один из самых простых методов - решение посредством формулы прямоугольников, поскольку в большинстве ситуаций он обладает более качественным уровнем надежности получаемых результатов в отличие от других формул, используемых при решении методами механических квадратур, хотя и требует большого объема выделяемых машинных ресурсов.
7. Поскольку погрешность вычислений методом квадратур при использовании формулы прямоугольников заведомо обладает свойством линейности, то при уже небольшом количестве итераций становится возможным построение функции зависимости погрешности от степени сжатия сетки интерполяционными методами в целях оценки погрешности получаемых решений интегрального уравнения на более высоких уровнях степени сжатия сеток.
8. Также следует заметить, что получение информации о погрешности вычислений с высокой степенью надежности дает возможность получения недостающих данных другими численными методами матричного интерпретирования, такими как метод LU-разложения либо все чаще применяющийся в настоящее время метод QR-вращений. Таким образом, становится возможным получение относительно точного конечного решения уже при малом разбиении сетки. Все вышесказанное свидетельствует о том, что разработанный алгоритм имеет высокую практическую значимость и, как следствие, может являться основой для дальнейших модификаций.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
