Аннотация
Введение 3
1 Порождающие множества групп SLn и MLn 5
2 Коммутанты групп SLn, MLn и GLn 14
3 Цепи коммутантов линейных групп над подкольцами поля
рациональных чисел 17
Заключение 26
Список использованной литературы 27
Актуальность темы. Линейные группы над полями играют важную роль при изучении операторов линейных пространств и достаточно хорошо исследованы. Гораздо меньше известно о линейных группах над кольцами, представляющих не меньший интерес в свете исследования групп автоморфизмов абелевых групп и модулей. В частности, при изучении групп автоморфизмов периодических и вполне разложимых абелевых групп важно знать, как устроены линейные группы над факторкольцами кольца Z и над подкольцами поля Q.
Цели и задачи работы. Целью данной работы является изучение свойств линейных групп над евклидовыми кольцами или факторкольцами Z/kZ. Основными задачами исследования являются:
1) нахождение «хороших» порождающих множеств линейных групп SLn и MLn;
2) получение условий, при которых коммутанты групп SLn, MLn и GLn над указанными кольцами совпадают с группой SLn;
3) нахождение пересечения цепи коммутантов для групп SLn, MLn и GLn над кольцами рациональных чисел.
Объект и предмет исследования. Объект исследования - линейные группы над евклидовыми кольцами и факторкольцами Z/kZ. Предметом исследования являются свойства линейных групп над указанными кольцами, а также цепей их коммутантов.
Используемые методы. Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:
1) изучение и анализ учебно-монографической и периодической научной литературы по теории групп и теории колец;
2) общие методы теории групп и теории колец.
Теоретическая и практическая значимость. Данная работа носит теоретический характер и может быть использована для дальнейшего изучения линейных групп над кольцами, а также групп автоморфизмов периодических и вполне разложимых абелевых групп.
Структура работы. В главе 1 приведены «хорошие» порождающие множества групп SLn и MLn над евклидовыми кольцами или факторкольцами Z/kZ. В главе 2 получены условия, при которых коммутанты групп SLn, MLn и GLn над указанными кольцами совпадают с группой SLn. В главе 3 получены условия, при которых пересечение цепи коммутантов групп SLn, MLn и GLn над подкольцами поля Q тривиально.
Для линейных групп над евклидовыми кольцами или факторкольцами Z/kZ были получены следующие результаты:
1) специальная линейная группа SLn порождается множеством всех
трансвекций этой группы;
2) группа MLn порождается множеством инволюций группы GLn
(если рассматриваемое кольцо евклидово);
3) если n > 2, то коммутанты групп SLn, MLn и GLn совпадают с
группой SLn;
4) если n = 2 и элемент 6 обратим в кольце, то коммутанты групп
SLn, MLn и GLn совпадают с SLn.
Для линейных групп над подкольцами поля Q или факторкольцами
Z/kZ были получены следующие результаты:
1) если элемент 2 необратим в кольце, то коммутант группы GL2
является собственной подгруппой группы SL2;
2) если элемент 3 необратим в кольце, то коммутант группы SL2
является собственной подгруппой этой группы.
Для линейных групп над подкольцами поля Q были получены следующие результаты: если число 2 необратимо в кольце или число 3 необратимо в кольце, то пересечение цепи коммутантов групп SL2, ML2 и GL2
тривиально.
