В настоящей работе мы изучаем надгруппы подсистемных подгрупп в исключительных группах. Принципиальным отличием от всех предшествующих работ является то, что для извлечения элементарных корневых элементов мы используем подсистему типа 2Щ. Во всех предшествующих работах эту роль выполняли неприводимые подсистемы ранга не меньше 2.
Чтобы поместить результаты настоящей работы в контекст, напомним основные имеющиеся на данный момент результаты.
• В работах [4], [1], [2], [3], [6], [14] изучаются надгруппы (элементарных) подсистемных подгрупп в полной линейной группе. В этом случае подсистемные подгруппы — это группы блочно-диагональных матриц.
• В работе [7] эти результаты были обобщены на случай ортогональных и сим- плектических групп в предположении 2 G R*. Затем в диссертации Александра Щеголева [24] это предположение было снято, а также решена задача для унитарных групп (см. также [18] и [19]).
• Случай полной линейной группы допускает некоторые обобщения на некоммутативные (но удовлетворяющие какому-то другому условию) кольца. Этому посвящены работы [13], [16] и [9].
• Задача описания надгрупп подсистемных подгрупп в исключительных группах (над коммутативным кольцом) была поставлена в работе [10] (проблема 7). Первым шагом в решении этой задачи служит работа [11], в которой перечислены пары (Ф, Д), для которых стандартное описание гипотетически возможно, а также для каждой из них найдены количество идеалов, определяющих уровень, и соотношения между ними.
• В работе [12] мною было получено единообразное решение данной задачи для подсистем Ai-1 6 Di, D5 6 Е6 и Е6 6 Е7. Это в точности случаи, в которых подсистемная подгруппа является подгруппой Леви, и соответствующий унипотентный радикал абелев.
• Отметим также, что результат работы [15] описывающий надгруппы F4 в Е6 хоть и не является частным случаем нашей задачи, но тесно с ней связан.
Напомним, как обычно выглядит ответ в задачах, похожих на нашу.
Пусть L — решетка подгрупп абстрактной группы G, обладающих некоторым свойством. Говорят, что L удовлетворяет sandwich classification, если она разбивается в дизъюнктное объединение ’’сэндвичей”
L = [J L(Fi,Ni'), i
L(Fi,Ni) = {H: Fi 6 H 6 Ni},
где i пробегает некоторое множество индексов. Причем Fi нормально в Ni. Изучение таких решеток сводится к изучению факторгрупп Ni/Fi. Гипотезы, выдвинутые в работе [11], утверждают, что в группах Шевалле решетки подгрупп, содержащих элементарную подсистемную подгруппу для достаточно большой подсистемы, удовлетворяют sandwich classification для определенных Fi и N. Такие теоремы также называются стандартным описанием.
Однако, (по крайней мере) для случаев, когда подсистема имеет неприводимую компоненту типа А1, формулировки гипотез в работе [11] следует модифицировать, так как иначе из них бы следовала нормальность элементарной подгруппы в SL(2, R), что не всегда верно.
Основной результат настоящей работы похож на sandwich classification, но подгруппа Fi , вообще говоря, не будет нормальна в Ni .
Работа [8] посвящена А2 доказательству структурных теорем, то есть доказательству использующему элемент вида ха(^}х^(С,), где (а,!3) = 2^, для попадания в па- раболичекую подгруппу. Наш метод доказательства частично основан на замечании после доказательства основной леммы работы [8], согласно которому, для попадания в параболическую подгруппу можно использовать элемент вида ха(^)х^(£), где (а,Р) = . Такой способ будет называться 2Д1-доказательством, и он позволяет изучать надгруппы подсистемных подгрупп для подсистем типа пЛ1.
В работе описаны надгруппы подсистемной подгруппы в группе Шевалле над коммутативным кольцом. Доказано, что решётка надгрупп разбивается в дизъюнктное объединение «сэндвичей», которые находятся во взаимно-однозначном соответствии с сетями идеалов кольца.
[1] Боревич З. И., Вавилов Н. А. О подгруппах полной линейной группы над коммутативным кольцом // Докл. АН СССР. —1982. — Т. 267, № 4. — С. 777-778.
[2] Боревич З. И., Вавилов Н. А. Расположение кодгрупп, содержащих группу клеточно диагональных матриц, в полной линейной группе над кольцом // Изв. вузов. Матем. —1982. — № 11.— С. 12-16.
[3] Боревич З. И., Вавилов Н. А. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом // Тр. МИАН. — 1984. — Т. 165.—С. 24-42.
[4] Боревич З. И., Вавилов Н. А., Наркевич В. О подгруппах полной линейной группы над дедекиндовым кольцом // Зап. научн. сем. ЛОМИ. — 1979. — Т. 94.—С. 13-20.
[5] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы 4-6. — Москва: Мир, 1972.
[6] Вавилов Н. А. Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу клеточно-диагональных матриц // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1: Мат., Мех., Астроном. — 1983.—№ 1. —С. 16-21.
[7] Вавилов Н. А. О подгруппах расщепимых классических групп // Тр. МИАН. — 1990. — Т. 183. — С. 29-42.
[8] Вавилов Н. А., Гаврилович М. Р. ^-доказательство структурных теорем для групп Шевалле типов Е6 и Е7 // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16, № 4.—С. 54-87.
[9] Вавилов Н. А., Степанов А. В. Подгруппы полной линейной группы над кольцом, удовлетворяющим условиям стабильности // Изв. вузов. Матем. — 1989. — № 10. — С. 19-25.
[10] Вавилов Н. А., Степанов А. В. Надгруппы полупростых групп // Вестн. СамГУ. Естествен- нонаучн. сер. — 2008. — № 3. — С. 51-95.
[11] Вавилов Н. А., Щеголев А. В. Надгруппы subsystem subgroups в исключительных группах: уровни // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2012. — Т. 400.—С. 70-126.
[12] Гвоздевский П. Б. Надгруппы подгрупп леви I. Случай абелева унипотентного радикала // Алгебра и Анализ (в печати).
[13] Голубчик И. З. О подгруппах полной линейной группы Gln(R) над ассоциативным кольцом R // УМН. — 1984.— Т. 39, № 1. —С. 125-126.
[14] Койбаев В. А. О подгруппах полной линейной группы, содержащих группу элементарных клеточно-диагональных матриц // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1: Мат., Мех., Астроном. — 1982. —Т. 13. —С. 33-40.
[15] Лузгарев А. Ю. “описание надгрупп F4 в Е6 над коммутативным кольцом // Алгебра и анализ. — 2008. —Т. 20. —С. 148-185.
...