Тема: ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ФРАКТАЛЬНОСТЬ ИХ ГРАФИКОВ

В теории тригонометрических рядов интерес представляет вопрос об условиях схо­димости рядов Фурье. Хорошо известен
Признак Дини —Липшица. Пусть f Е С2п, и ее модуль непрерывности w(f, б) = wR(/, 5) удовлетворяет условию
при б —> +0.
Тогда ряд Фурье функции f сходится равномерно на [0, 2л].
Этот признак, как известно, является неулучшаемым. В данной работе мы получим уточнение этого признака для класса непрерывных функций, имеющих ограничение на фрактальность графика.
Определение 1. Пусть дана ограниченная функция / : [a,b] R. Модулем фрак- тальности функции f на отрезке [а,Ь] будем называть функцию H[a;b](f, s), которая любому £, большему нуля, сопоставляет минимальное число замкнутых квадратов со сторонами длины £, параллельными осям координат, которыми можно покрыть график функции / на отрезке [а, Ь].
Замечание 1. Из определения модуля фрактальности следует, что
Мг 6 „[ab](M 6 (Д +1)(™*<1/W - f - : *•» g +1) = о(л).
Понятие модуля фрактальности было предложено Н. Ю. Антоновым и С. В. Берды­шевым и, насколько нам известно, в опубликованном виде встречалось лишь в работах автора настоящей диссертации.
Определение 2. Пусть р : (0, +<х>) (0, +гс>) — невозрастающая функция. Опре­
делим функциональный класс Fk следующим образом:
Fк := {/ е (О : ЩррДфе) = О(р(е)), е > 0}.
Замечание 2. График любой функции из Fk, где р(е) = 1/еа, а Е [1, 2], имеет фрактальную размерность по Минковскому не большую а, что и обуславливает назва­ние модуля фрактальности...
Купить

1. Приведена оценка сверху модуля разности функции и соответствующей суммы Фурье, выраженная в терминах модуля непрерывности и модуля фрактальности.
2. Как следствие получены признак равномерной сходимости ряда Фурье непрерыв­ной функции в терминах модуля непрерывности и модуля фрактальности этой функций, а также оценка на рост частичных сумм ряда Фурье непрерывной функ­ции в терминах модуля фрактальности.
3. Для любого функционального класса Fм, более широкого, чем F 1, построен при­мер функции из Fм с рядом Фурье, не являющимся сходящимся всюду.
По результатам исследований сделаны доклады на следующих конференциях.
1. 6th Workshop on Fourier Analysis and Related Fields (Hungary, Pecs, 24-31 August 2017)
2. 19-я международная Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 29 января - 2 февраля 2018 г.)
3. Международная (49-я Всероссийская) молодежная школа-конференция «Совре­менные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 4-10 февраля
2018 г.);
4. Международная Школа-конференция С. Б. Стечкина по теории функций (Кы- штым, 1-10 августа 2018 г.);
5. Международная (50-я Всероссийская) молодежная школа-конференция «Совре­менные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 3-9 февраля
2019 г. ).
Полученные результаты опубликованы в статьях [3, 4].
Купить