Введение 2
Глава 1 5
1.1Определение и основные свойства интегрального преобразования Фурье
5
1.2 Свертка функций и преобразование
Фурье 13
1.3 Примеры преобразований
Фурье 14
Глава 2 23
2.1. Применение преобразования Фурье для решения задач математической
физики 24
2.2. Применение преобразования Фурье для решения интегральных
уравнений 29
2.3. Преобразование Фурье и ряды Фурье, дискретное преобразование Фурье 30
Заключение 45
Список литературы 46
Приложение 49
Преобразование Фурье вычисляется каждый раз, когда мы слышим звук. Ухо автоматически вычисляет, то-что наш сознательный ум может делать только после нескольких лет изучения математики. Наш слуховой орган строит трансформацию, представляющую звук как вибрационное движение частиц упругой среды, распространяющуюся в виде волн в газообразных, жидких или твердых средах - в виде спектра последовательных значений громкости для разных высот тонов. Мозг преобразует эту информацию в воспринимаемый звук.
В математике дискретное преобразование Фурье преобразует конечную последовательность эквидистантных выборок функции в последовательность с одинаковой длиной эквидистантных выборок преобразования Фурье с дискретным временем, которая является комплекснозначной функцией частоты.
Подобные операции могут быть выполнены с использованием математических методов звуковых волн или практически любого другого колебательного процесса - от световых волн и океанских приливов до циклов солнечной активности. Используя эти математические методы, вы можете разложить функции, представляя колебательные процессы в виде набора синусоидальных составляющих - волнообразные кривые, переходящие от максимума к минимуму, а затем обратно к максимуму, как океанская волна.
Преобразование Фурье стало мощным инструментом, используемым в различных научных областях. В некоторых случаях его можно использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические процессы, происходящие под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В других случаях он позволяет изолировать регулярные компоненты в сложном вибрационном сигнале, так что можно правильно
интерпретировать экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и
химии.
Французский математик Жан Батист Джозеф Фурье, чье имя называлось преобразованием, первым человеком сказал об этом методе в мире. В 1789 году он получил уравнение, описывающее распространение тепла в твердом теле. В 1807 году Фурье изобрёл и метод решения этого уравнения: преобразование Фурье.
Преобразование Фурье используется во многих областях науки - в области физики, теории чисел, комбинаторики, теории вероятностей, статистики, акустики, океанологии, оптики, геометрии и многих других.
Благодаря широкому применению метода Фурье и аналогичных аналитических методов мы можем теперь правильно повторить то, что сказал Лорд Кельвин в 1867 году: «Теорема Фурье - это не только один из самых элегантных результатов современного анализа, но он также дает нам незаменимый инструмент в изучении самых сложных проблем современной физики.»
Цель исследования является изучением преобразования Фурье, его свойства и теорем с целю определения применения этого преобразование в области математики и физики.
Задачи нашего исследования есть:
1. Изучить научную литературу, касающуюся темы исследования.
2. Определить преобразование Фурье и ряды Фурье.
3. Определить что такой дискретное преобразование Фурье, его основные свойства а также проводить примеры преобразований Фурье
4. Составить примеры применения преобразования Фурье в разных областях математики и физики
Предмет исследования: Современные научные книги и статья о дискретном преобразовании Фурье.
Объект исследования: Применение дискретного преобразования Фурье для решения задач математической физики и для решения интегральных уравнений. В первой главе мы будем рассматривать понятие и основные свойства интегрального преобразования Фурье, а также свертка функций и примеры преобразований Фурье. Во второй главе мы будем определить применения дискретного преобразования Фурье к решению задач математической физики и к решению интегральных уравнений. Окончательно, мы будем рассматривать ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье.
В первой главе мы рассмотрели понятие и основные свойства интегрального преобразования Фурье, а также свертка функций и примеры преобразований Фурье. Во второй главе мы определили применения дискретного преобразования Фурье к решению задач математической физики и к решению интегральных уравнений. Окончательно, мы рассмотрели ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье.
В этой главе мы рассмотрели представления по Фурье последовательностей конечной длины, названные дискретным преобразованием Фурье. Это представление было основано на связи между последовательностями конечной длины и периодическими последовательностями. А именно, если периодическая последовательность сформирована так, что каждый ее период идентичен последовательности конечной длины, то дискретное преобразование Фурье последовательности конечной длины соответствует дискретному ряду Фурье периодической последовательности. Поэтому мы сначала рассмотрели представление периодических последовательностей рядами Фурье, включая свойства рядов Фурье и интерпретацию их коэффициентов, как равноудаленных выборок на единичной окружности из 2-преобразований одного периода периодических последовательностей. Затем дискретные ряды Фурье были применены к представлению последовательностей конечной длительности. Были рассмотрены свойства дискретного преобразования Фурье, а также вопросы вычисления линейной свертки с использованием дискретного преобразования Фурье.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
