1 Введение 2
2 Основные результаты 4
3 Доказательство теоремы 1 6
3.1 Ядра Фейера и покрывающие окрестности 6
3.2 Конструкция функции-исправления 7
3.3 Сходимость, исправление и спектр 11
3.4 Равномерная ограниченность частичных интегралов Фурье 14
4 Точные оценки нормы || • ||u 15
Список литературы 18
Купить

Принцип неопределенности в гармоническом анализе гласит, что ненулевая функция и ее преобразование Фурье не могут быть одновременно малы. Существует множество достаточно разнообразных точных результатов, отражающих это явление.
Например, принцип неопределенности Гейзенберга [2] утверждает, что для произ­вольной функции / из пространства E2(R) на прямой и произвольных вещественных чисел а, b выполняется неравенство
У (^ - «)2|/(ж)|2ЖгУ (w - b)2|/(w)|2dw > 1У2f 114.
R R
Это утверждение можно неформально интерпретировать следующим образом: не мо­жет быть одновременно так, что функция сосредоточена в малой окрестности точки а, а ее преобразование Фурье - в малой окрестности точки b. Принцип неопреде­ленности Амрейна-Бертье (см. [1]) гарантирует, что множества Eg = {/ G L2(Rra) : supp(/) С S} и E^ = {/ G L2(Rra) : supp(/) С E}, где S, E — произвольные под­множества в Rra конечной меры Лебега, пересекаются только по нулю. Более того, выполняется оценка
Формула в виде рисунка.
Иначе говоря, мы получаем точный вариант приведённого в самом начале неформаль­ного утверждения: „малость“ функции здесь означает, что её носитель имеет конечную меру.
Здесь же можно сделать очевидное замечание о том, что для функций / из E2(R) с ограниченным носителем преобразования Фурье / есть целая функция, в частно­сти, и на прямой R она может иметь лишь изолированные нули. Далее, упомянем и классический результат о том, что если носитель функции / = 0 ограничен лишь
сверху или снизу, то логарифмический интеграл от / сходится жет равняться нулю на сколь-нибудь „массивном" множестве. По поводу дальнейшей информации мы отсылаем читателя к монографии [12] В. П. Хавина и Б. Йорике (в которой, кстати, обсуждается и последний из упомянутых результатов).
Однако, наряду с утверждениями, подобными приведённым выше, часто иссле­дуется вопрос о том, сколь сильным одновременным ограничениям на / и / может удовлетворять ненулевая функция. Так, П. П. Каргаев в [14] показал, что функция из пространства Е2 (R) может быть сосредоточена на множестве конечной меры и иметь лакуну в спектре. Более того, можно найти характеристическую функцию некоторо­го множества с указанным свойством. Позже П. П. Каргаев и А. Л. Вольберг в [4] построили пример (нетривиальной) функции с носителем конечной меры Лебега, у которой преобразование Фурье обращается в ноль на множестве бесконечной меры.
Недавняя конструкция Ф. Л. Назарова и А. М. Олевского (2017 г.) предлагает ещё более впечатляющее „нарушение" принципа неопределенности. В работе [7] они показали, что можно построить функцию / из L2(R) c носителем S конечной меры такую, что
|spec(/) П (—R, R) | = o(R), R ' ^.
где под spec(/) (спектром функции /) понимается носитель преобразования Фурье функции /. Кроме того, такую функцию / можно построить в виде / = xS, где xs - характеристическая функция множества S. Из конструкции в [7] также следует, что, более того, спектр функции / можно поместить в объединение К U (UkeN(Ik U (—Ik))), где К - некоторое компактное множество, содержащее ноль, Ik - произвольные по­парно не пересекающиеся интервалы, длины которых стремятся к бесконечности с увеличением индекса, а —Ik - интервалы, симметричные интервалам Ik относитель­но нуля. Подчеркнём, что никаких условий на длину промежутков между соседними интервалами Ik (т.е. на размеры лакун в спектре) здесь не накладывается.
В 2019 году C. B. Кисляков показал, что небольшая модификация конструкции На­зарова и Олевского позволяет изменить произвольное подмножество прямой конечной меры сколь угодно мало так, чтобы характеристическая функция нового множества обладала спектром как из статьи [7] - см. [15]. Кроме того, в той работе демонстриру­ется, что аналогичное утверждение верно на произвольной (недискретной) локально компактной абелевой группе. Таким образом, результат из [15] может быть трактован не только как „нарушение" принципа неопределенности, но и как теорема об исправ­лении. Это последнее обстоятельство, а также структура спектра исправленной функ­ции, связывает его с работой [17], где был установлен аналог теоремы Меньшова об исправлении. Напомним, что теорема Меньшова утверждает, что любую измеримую функцию на окружности можно изменить на множестве сколь угодно малой меры так, чтобы новая функция обладала равномерно сходящимся рядом Фурье. При этом в [17] спектр исправленной функции располагался в множествах того же типа, что и выше. Схожесть формулировок результатов из [15] и [17] мотивирует вопрос о возможности улучшения конструкции характеристической функции как у Олевского и Назарова до теоремы об исправлении в духе Меньшова. Другими словами, можно ли сказать что-то о частичных суммах или интегралах Фурье исправленной характеристической функции из [15]? Разумеется, равномерно сходящегося ряда Фурье или частичных интегралов Фурье у характеристической (разрывной) функции-исправления не быва­ет, и лучшее, на что мы могли бы рассчитывать - это равномерная ограниченность частичных сумм или интегралов Фурье.
В настоящей работе мы демонстрируем, что, действительно, для класса харак­теристических функций можно строить исправления опять до характеристической функции и почти как в теореме Меньшова, с равномерно ограниченными частичными суммами (интегралами) Фурье, и с “лакунарным” спектром. Аналогичный результат может быть получен и на любой локально-компактной абелевой группе конечной топо­логической размерности, см. [6], однако здесь мы ограничимся многомерными торами T" и евклидовым пространством R". Эти примеры одновременно являются самыми наглядными и самыми содержательными, поскольку доказательство для общего слу­чая проводится примерно по той же схеме, с помощью структурной теоремы (см., например, [3]) и леммы “о разнесении спектра” из [15]. Для окружности и прямой так­же получена точная оценка на супремум модулей частичных сумм (интегралов) Фурье исправленной функции. Отметим, что аналогичная оценка, гарантированная для то­ров и евклидовых пространств произвольной размерности, далека от оптимальной, а результат для окружности и прямой использует теорему Карлесона о сходимости почти всюду.
Текст организован следующим образом. В разделе 2 мы приводим строгие форму­лировки результатов, анонсированных выше, а точнее их усиления для “взвешенных” характеристических функций множеств. Раздел 3 посвящен доказательству основного результата. В разделе 4 обсуждаются точные оценки для окружности и прямой.
Купить