Введение 4
Глава 1. Ряд и интеграл Фурье 6
§1. Условия сходимости рада Фурье 6
1.1. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке 6
1.2. Условия равномерной сходимости ряда Фурье 14
§2. Теорема Фейера 17
2.1. Теорема Фейера 17
2.2. Полнота тригонометрической системы. Теорема
Вейерштрасса 21
2.3. Теорема Фейера для пространства L1 22
§3. Интеграл Фурье 23
3.1. Основная теорема 23
3.2. Интеграл Фурье в комплексной форме 26
Глава 2. Преобразования Фурье 27
§4. Преобразование Фурье, свойства и применения 27
4.1. Преобразование Фурье и формула обращения 27
4.2. Основные свойства преобразования Фурье 32
4.3. Полнота функций Эрмита и Лагерра 36
4.4. Преобразование Фурье быстро убывающих бесконечно
дифференцируемых функций 38
4.5. Преобразование Фурье и свертка функций 39
4.6. Применение преобразование Фурье к решению уравнений теплопроводности 40
4.7. Преобразование Фурье функций нескольких переменных...43
§5. Преобразование Фурье в пространстве L2(—оо) 47
5.1. Теорема Планшереля 47
5.2. Функции Эрмита 52
§6. Преобразование Лапласа 56
6.1. Определения и основные свойства преобразования Лапласа.56
6.2. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений (операторный метод) 58
§ 7. Преобразование Фурье — Стилтьеса 61
7.1. Определение преобразования Фурье — Стилтьеса 61
7.2. Применения преобразования Фурье — Стилтьеса в теории
вероятностей 63
§ 8. Преобразование Фурье обобщенных функций 67
Заключение 72
Список используемой литературы 73
Купить

Актуальность исследования. Жан Батист Жозеф Фурье - французский математик, член Парижской Академии Наук (1817). Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (оп. 1820), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определённых уравнений», изданный посмертно в 1831. Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. Это - математическая теория теплопроводности. В силу общности метода эта книга стала источником всех современных методов математической физики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье.
Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в частных производных при решении граничных задач.
Цель исследования. Изучение теории рядов Фурье.
Задачи:
- рассмотреть и изучить условия сходимости ряда Фурье; теорему Фейера; интеграл Фурье; преобразование Фурье, свойства и применения; преобразование Фурье в пространствах; преобразование Лапласа; преобразование Фурье - Стилтьеса.
- провести анализ преобразований Фурье обобщенных функций.
Объект исследования. Тригонометрические ряды. Преобразование Фурье.
Предмет исследования. Ряд Фурье.
Методы исследования. Используется общий метод преобразования Фурье.
Значимость работы:
- изложены основы гармонического анализа рядов Фурье.
Структура и объём работы. ВКР состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 64 страницах. Список литературы содержит 8 наименований.

Купить