ВВЕДЕНИЕ 4
1 АНАЛОГИ ФОРМУЛЫ СОХОЦКОГО 6
1.1 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ШВАРЦА И
ГИПЕРРАСПРЕДЕЛЕНИЯ В. К. ИВАНОВА 7
1.2 АНАЛОГ ФОРМУЛЫ СОХОЦКОГО ДЛЯ ^^4 8
( X | Ь")
1.3 ОБОБЩЕНИЕ ФОРМУЛЫ СОХОЦКОГО
ДЛЯ ЛЮБОГО п Е N 15
2 АНАЛОГИ ФОРМУЛ МИКУСИНСКОГО
И ГОНСАЛЕСА-ДОМИНГЕСА 18
2.1 УМНОЖЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 19
2.2 РАСШИРЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА Е0 20
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 22
РЕФЕРАТ
Колыванова А.Б. УМНОЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ, магистерская диссертация. Стр. 22, библ. назв. 5.
Ключевые слова: ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, ФОРМУЛА СОХОЦКОГО, ФОРМУЛЫ МИКУСИНСКОГО И ГОНСАЛЕСА - ДОМИНГЕСА, РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ГИПЕРРАСПРЕДЕЛЕНИЯ В. К. ИВАНОВА.
Получены обобщения формулы Сохоцкого для четвертой степени методами теории вычетов. Получены соотношения типа Микусинского и Гонсалеса - Домингеса, связывающие распределения и гиперраспределения. Было получено обобщение формулы Сохоцкого для любого натурального числа.
Известна формула Сохоцкого
+^ +^
1- [ Ф(х) л [ Ф(х) й
11т ах = ах — гкф{0),
■ ■" ] х + ге у х
где интеграл понимается в смысле главного значения Коши. В терминах теории обобщенных функций, в смысле слабого предела в 'О' эта формула выглядит следующим образом:
1
х + ге
Это позволяет установить соотношения, связывающие распределение Ф и гиперраспре¬деления (|)2 , 42 :
1 ( 1) 2
-2 -( -) =
'X/ СС )
- ь = - -
х 2
Ранее были получены аналоги формулы Сохоцкого для п = 2:
Это позволяет получить соотношения между обобщенными функциями и гиперраспределениями:
X = (X)3 -3^2 X '■ <5" = 6 (X)2 5 - 2я353.
2) Для п = 3
, 1 А3 - ыб"/2 (0.2)
(х + ге)3 -•• х3
позволяет получить соотношения
X; = (X)4 - 6Я2 (X)2 62 + ЯХ
Ф" = 12 (X)3 5 - 12 X <53 и
3) для п = 4
7 1 ~~—> ~Т + ^яФ''/6; (0.3)
(х + гД4 о х4 I ’
здесь тоже получены нелинейные соотношения между обобщенными функциями и гиперраспределениями:
- 10 к2$2 + 51 я4Д,
/У‘5 'Г* / 'Г* / 'Г*
<5(4) = 120 Г1) 5 - 240 (1) Л3 + 24яЧ>5.
Соотношения (0.4) и (0.5) получены, исходя из того, что допредельная функция и (ж) = (ж+^е)4 есть решение нелинейного дифференциального уравнения
и'х = -4и5/4.
По индукции, на основании полученных соотношений (0.1), (0.2), (0.3) возникло предположение, что аналог формулы Сохоцкого для п-й степени будет выглядеть следующим образом:
— + (-1)гагя5(га-1)/(п - 1)!.
(ж + ге)п ■ ■" жга
Эта формула будет доказана в нашей работе.
В работе получено обоснование соотношений (0.4), (0.5).
