Заказать работу


Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


ПОЛИНОМЫ БЕРНШТЕЙНА, ИХ ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Работа №42085
Тип работыДипломные работы, ВКР
Предметматематика
Объем работы34
Год сдачи2019
Стоимость4900 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено 20
Не подходит работа?

Узнай цену на написание

ведение 3
1 Классический полином Бернштейна и его свойства 5
1.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Полиномы Бернштейна и их аппроксимативные свойства . . . . . 7
1.3 О переносе результатов на произвольный отрезок . . . . . . . . . 17
2 Некоторые обобщения полиномов Бернштейна 18
2.1 Приближение непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Приближение функций из пространства L2 . . . . . . . . . . . . . 20
3 Приложения к решению интегральных уравнений 23
3.1 Полиномиальный метод коллокации . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Применение полиномов Бернштейна к построению приближенных решений для уравнения с непрерывными коэффициентами . 29
3.3 Применение обобщенных полиномов Бернштейна к решению интегральных уравнений с разрывными коэффициентами . . . . . . 31
Заключение 33
Литература 34

В 1912 году Сергеем Натановичем Бернштейном были введены многочлены достаточно простой конструкции, в настоящее время носящие его имя. С помощью
этих полиномов и некоторых сведений из теории вероятностей Бернштейну удалось явно и кратко доказать знаменитую теорему Вейерштрасса о приближении
непрерывной функции, заданной на отрезке числовой прямой, алгебраическими
полиномами (по этому поводу см. в [3; 4; 6]).
В то же время эти полиномы не могут быть использованы, если приближаемая функция имеет хотя бы разрывы первого рода. Поэтому актуальной
является задача построения на базе полиномов Бернштейна других конструкций полиномов, которые аппроксимируют по норме некоторого пространства
разрывные функции. В настоящее время имеются работы, в которых построены такие конструкции полиномов (см., например, работу [8] и библиографию в
ней).
Целью работы является:
– систематическое изучение аппроксимативных свойств как классических полиномов Бернштейна, так и их обобщений;
– на их основе построение новых вычислительных схем прямых методов решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода, позволяющих получить
полиномиальные приближения, сходящиеся к точному решению в равномерной
метрике и в среднем.
Работа состоит из введения, трёх разделов, заключения и списка литературы
из 8 наименований.
В первом разделе даётся определение классического полинома Бернштейна
и изучаются аппроксимативные свойства этого полинома.
Второй раздел посвящен изучению аппроксимативных свойств введённых
нами на основе классических полиномов обобщенных полиномов, которые могут
использоваться как для приближения непрерывных, так и квадратично суммируемых на конечном промежутке функций.
В третьем разделе рассматриваются приложения исследованных нами полиномов. Здесь строятся вычислительные схемы приближенных методов решения
интегральных уравнений Фредгольма второго рода и изучаются вопросы сходимости этих методов. А именно, проводятся исследования полиномиального
3метода коллокации в случае непрерывных исходных данных и двух методов,
построенных на базе классического и обобщенного полиномов Бернштейна. Доказаны теоремы о сходимости указанных методов для уравнения соответственно
с непрерывными и квадратично суммируемыми коэффициентами. Эти теоремы,
в случае негладких исходных данных, показывают эффективность методов на
основе полиномов Бернштейна по сравнению с традиционным полиномиальным
проекционным методом коллокации.
В заключении кратко перечислены полученные в работе результаты.
В разделах принята своя нумерация формул.

Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании студенческих
и аспирантских работ!


В выпускной работе нами проведено систематическое исследование свойств классических полиномов Бернштейна Bn(f; x), а также построены их обобщения для
случая функций, имеющих разрывы второго рода. Для указанных обобщений
доказана их сходимость в среднем к искомой функции, квадратично суммируемой на соответствующем отрезке [0; 1]. Эти результаты распространены на
случай произвольного промежутка [a; b].
Исследованные нами классические и обобщенные полиномы Бернштейна далее используются при построении приближений к решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода с непрерывными и разрывными коэффициентами. Полученные результаты показывают достоинства указанных вычислительных схем в случае негладких функций перед вычислительными схемами
проекционных методов, основанных на аппарате алгебраических полиномов.


Агачев, Ю.Р. Прямые полиномиальные и сплайновые методы решения интегральных уравнений второго рода. Учебное пособие / Ю.Р. Агачев, Е.К.
Липачев. – Казань, 2017. – 68 с.
[2] Габдулхаев, Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач /
Б.Г. Габдулхаев. – Казань, изд-во Казанского ун-та, 1980. – 232 с.
[3] Гельфонд, А.О. Исчисление конечных разностей / А.О. Гельфонд. – М.:
Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.
– 400 с.
[4] Гончаров, В.Л. Теория интерполирования и приближения функций / В.Л.
Гончаров. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. – 328 с.
[5] Корнейчук, Н.П. Экстремальные задачи теории приближения / Н.П. Корнейчук. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
[6] Натансон, Н.П. Конструктивная теория функций / Н.П. Натансон. – М. –
Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949.
– 688 с.
[7] Турецкий, А.Х. Теория интерполирования в задачах, Ч.1 / А.Х. Турецкий.
– Минск: Вышэйшая школа, 1968. – 320 с.
[8] Minakshi, Dhamija. Better approximation results by Bernstein-Kantorovich
operators/ Dhamija Minakshi, Deo Naokant // Lobachevskii Journal of
Mathematics. – 38(1), 2017. – P. 94 - 100.
34

Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.

Пожалуйста, укажите откуда вы узнали о сайте!



© 2008-2020 Cервис продажи образцов готовых курсовых работ, дипломных проектов, рефератов, контрольных и прочих студенческих работ.
.