
Тип работы:	Предмет:	Язык работы:

О КРИТИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПОЛИНОМОВ

Работа №	87393
Тип работы	Дипломные работы, ВКР
Предмет	математика
Объем работы	27
Год сдачи	2017
Стоимость	4750 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено	55

Не подходит работа?

Узнай цену на написание

Содержание

Введение 3
2 Некоторые предварительные рассуждения 5
3 Случай п = 5 7
4 Случай п = 6 12
4.1 Общий принцип доказательства 12
4.2 Алгоритм для проверки на знакопостоянство 14
4.3 Завершение доказательства лемм 17
4.4 Доказательство утверждения 1 20
5 Проверка гипотезы для п = 5 и п = 6 21
5.1 Доказательство теоремы 1 21
5.2 Случаи равенства 21
6 Рассуждения для п > 6 23
6.1 Численная оценка для n=7 23
6.2 Случаи, когда метод перестаёт работать: п > 8 25
7 Заключение

Введение

Рассмотрим множество полиномов:
п
фп = {z + CkZk, Ck G С}
Для каждого f G фп определим

где £1... (n-1 - критические точки полинома f.
В 1981 году Смейл [1] выдвинул гипотезу, утверждавшую, что max Т(f) = fepn
1 — П. Смейл показал, что для любого полинома из фп выполняется неравенство Т(f) < 4. С другой стороны, для полиномов вида f (z) = z + czn, где с = 0, получаем Т(f) = 1 — П. Таким образом, известно, что
1 - 1 < т(f) < 4.
п
Существует большое количество оценок для различных частных случаев. Некоторые из них можно найти в статьях [2], [3]. Целью данной дипломной работы является изучение следующей гипотезы, известной как дуальная гипотеза Смейла.
Гипотеза. min S(f) = 1.
f€ф„ 7 П
Тишлер [4] доказал, что гипотеза верна для таких полиномов, что
00 = Const.
с
для всех критических точек f. Дубинин и Сугава [5] доказали, что существует
такая критическая точка (, для которой

Гипотеза легко проверяется для малых значений п, однако, уже начиная с п = 4 проверка представляет из себя сложную задачу, требующую длительных рассуждений.
Доказательство для п = 4 было представлено Тишлером в [4]. В этой работе было установлено, что существует такая критическая точка ( полинома f, что

Однако, Тайсон [6] показал, что для п > 5 этот результат неверен.
Основным результатом данной работы является доказательство дуальной гипотезы Смейла для случаев п = 5 и п = 6.
Работа была выполнена совместно с научным руководителем профессором Каюмовым И.Р. (КФУ) и профессором Хинкканеном А. (UIUC).

Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь студентам в написании работ!

ДИПЛОМНЫЕ МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Курсовые Статьи Диплом Рязань

Заключение

Результатом данной работы является доказательство дуальной гипотезы Смейла для случаев п = 5 и п = 6. В целях упрощения исследования удалось перейти к задаче с меньшим числом переменных и получить оценку, удовлетворяющую гипотезе. Как видно из приведённых рассуждений, уже для такого значения п задача требует большого объёма вычислений. С увеличением п сложность будет возрастать.
Для решения был использован алгоритм, написанный в программе Wolfram Mathematica. Необходимость его использования обусловлена большим количеством вычислений. Приближённые методы не используются. Тот же алгоритм применим для проверки случая п = 5, однако для п > 6 он не работает из-за наличия дополнительных экстремалей. В работе представлено численное решение для п = 7. В случае п > 7 перестаёт работать и общий подход выбора критической точки, однако, контрпримеров, опровергающих гипотезу Смейла, не найдено. Таким образом, для проверки случаев п = 8 и выше необходимо разработать другие методы решения.

Литература

[1] Smale, S. The fundamental theorem of algebra and complexity theory /
S. Smale // Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.) - 1981.- № 4. - P.1-36.
[2] Beardon, A.F. Smale’s mean value conjecture and the hyperbolic metric / A.F. Beardon, D. Minda, T.W. Ng // Math. Ann. - 2002. - Vol. 322, № 4. - P.623¬632.
[3] Hinkkanen A. On critical values of polynomials with real critical points / A. Hinkkanen, I.R. Kayumov // Труды математического центра им. Н.И. Ло¬бачевского. - 2009. - № 38. - P.149-151.
[4] Tischler D. Critical points and values of complex polynomials / D. Tischler // J. Complexity. - 1989. - № 5. - P.438-456.
[5] Dubinin V. Dual mean value problem for complex polynomials / V. Dubinin,
T. Sugawa // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. - 2009. - Vol. 85, № 9. - P.135-137.
[6] Tyson J.T. Counterexamples to Tischler’s strong form of Smale’s Mean Value Conjecture. / J.T. Tyson // Bull. London Math. Soc. - 2005. - № 37. - P.95-106.
[7] Wolfram S. An elementary introduction to the Wolfram Language (Second edition). / S. Wolfram // Wolfram Media, Inc. - 2017. - 323p.
[8] Дубинин В.Н. Неравенства для критических значений полиномов. / В.Н. Дубинин // Мат. сб. - 2006. - Т. 197, № 8. - С.63-72.
[9] Дубинин В.Н. Об одной экстремальной задаче для комплексных полино¬мов с ограничениями на их критические значения. / В.Н. Дубинин // Сиб. матем. журн. - 2014. - Т. 55, № 1. - C.79-89.
[10] Дубинин В.Н. Неравенство марковского типа и нижняя оценка модулей критических значений полиномов. / В.Н. Дубинин // Доклады академии наук. - 2013. - Т. 451, № 5. - С.495-497.