В работах Мертона [1, 2] и Блэка и Скоулза [3] были построены математические модели проблем финансового анализа. Изначально эти модели были сформулированы в терминах стохастических дифференциальных уравнений. При наложении некоторых разумных ограничений эти модели могут быть записаны в виде линейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных с переменными коэффициентами.
Широко используется одномерная модель (одна переменная — время и одна пространственная) Блэка - Скоулза, задаваемая уравнением
+ Bxux — Cu = 0.
В настоящей дипломной работе мы, следуя идеям работы [4], рассматриваем модель, предложенную Джейкобсом - Джонсом [5], в которой два коэффициента полагаем равными нулю. Для этого уравнения мы находим допускаемую им алгебру Ли симметрий. В процессе решения возникает два случая, в зависимости от того, обращается ли в нуль некоторое выражение, составленное из коэффициентов уравнения. В случае, когда оно обращается в нуль, алгебра Ли расширяется.
В дипломной работе решены следующие задачи:
1. Найдена общая алгебра Ли симметрий, допускаемая упрощенным уравнением Джейкобса-Джонса.
2. В особом случае, когда AH — BCE = 0 также найдена алгебра Ли. Она оказывается шире, чем в общем случае.
3. Указаны инвариантные решения по отношению к двумерным подалгебрам найденной алгебры Ли.
