Введение 2
Глава 1. Однопараметрические группы преобразовании 4
1.1 Определение и пример 4
1.2 Уравнение Ли 7
1.3 Инварианты. Оператор группы 11
1.4 Инвариантные уравнения 18
Глава 2. Группы,допускаемые дифференциальными уравнениями ... 23
2.1 Обозначение и основные понятия 23
2.2 Группы точечных преобразований. Формулы продолжения 25
2.3 Примеры продолженных операторов 29
2.4 Примеры решения определяющих уравнений 32
2.5 Алгебры Ли и многопараметрические группы 36
Глава 3. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группу 40
3.1 Замена переменных 40
3.2 Некоторые уравнения первого порядка с известным допускаемым оператором 41
3.3 Уравнение второго порядка 41
3.4 Некоторые уравнения второго порядка с известным допускаемым оператором 45
Заключение 46
Список использованной литературы

Купить

Актуальность исследования. Групповой анализ является мощным инструментом при рассмотрении нелинейных уравнений и краевых задач. Он возник как научное направление в работах выдающегося математика XIX в. Софуса Ли(1842-1899 гг. ) и служил главной составной частью его важнейшего творения — теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа — вопрос о разрешимости в квадратурах дифференциальных уравнений — была практически решена самим Ли, но не нашла широкого применения. Хотя подход Ли к дифференциальным уравнениям ещё использовался его ранними последователями, позже исследования в этом направлении прекратились,и надолго. Интерес к групповому анализу возродил Л.В.Овсянников, показав в своих работах 1958-1962 гг., что главное орудие, которым пользовался Ли, — описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп — обнаруживает свою силу не только в вопросах о полной разрешимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики.
Цель исследования: изучение элементов группового анализа дифференциальных уравнений.
Задачи: рассмотреть и изучить однопараметрические группы преобразований, уравнение Ли, инварианты, инфинитезимальный оператор группы, инвариантные уравнения; группы точечных преобразований, формулы продолжения, определяющие уравнения, алгебры Ли и многопараметрические группы, методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (метод интегрирующего множителя,замены переменных).
Объект исследования: группы непрерывных преобразований.
Предмет исследования: группы, допускаемые дифференциаль-
ное уравнение.
Методы исследования: методы группового анализа.
Структура и объем работы. ВКР состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 47 страницах, включая формулы и таблицы. Список литературы содержит 8 наименований.

Купить