Введение
1 Вспомогательные результаты 6
1.1 Определения и обозначения 6
1.2 Результаты из общей теории приближенных методов ... 8
1.3 Результаты из теории приближения функций
алгебраическими полиномами 10
1.4 Результаты из функционального анализа 11
2 Решение одного класса интегро-дифференциальных
уравнений 15
2.1 Корректная постановка задачи 15
2.2 Методы решения 16
2.2.1 Метод Галеркина 16
2.2.2 Метод коллокации 20
2.2.3 Метод подобластей 23
2.2.4 Метод механических квадратур 27
Заключение 31
Литература 32
Купить

Рассматривается линейная задача Коши для интегро-дифференциального уравнения:
x(m)(t) + Xdk(t)x(m~k')(t) + X [ hJ(t,s)x(j')(s)ds = y(t),(0.1)
k=i j=oJ-1
x(i)(—1) = 05j = 0, m — 1, 0 < m < p, —1 < t < 1,(0.2)
где y(t),gk(t),k = 1,m, и hj(t,s),j = 0,p, — известные функции на [—1; 1] и [—1; 1]2соответственно, а x(t)— искомая функция.
При p >m > 0 (наш случай) задача является некорректно поставленной задачей в традиционных для дифференциальных уравнений парах нормированных пространств X и Yискомых элементов и правых частей соответственно [1]. Поэтому важно построить такие пары (X, Y), в которых эта задача корректна поставлена по Адамару. Не смотря на некорректность, в работе [1] дается обоснование полиномиальных методов для случая m = 0 и любого p > 1, т.е. для уравнения вида
p/> 1
x(t) + А/ q(s)hj(t,s)xj(s)ds = y(t), (0.3)
j=X-1
где q(s) - весовая функция, А - числовой параметр.
В случае условно-корректных задач обоснование некоторых из приближенных методов имеется в работе [7], однако в ней задача рассматривается в пространствах Соболева со специальными весами. В работах [3], [4] исследование задачи на корректность проведено в частном случае, когда p = 1,m = 0, т.е. для уравнения:
x(t) + [ h0(t, s)x(s)ds+ [ h1(t, s)x0(s)ds = y(t), 0 < t < 1, (0.4)
Jo Jo
где y(t), h0(t, s), hi(t, s) — известные функции на [0; 1] и [0; 1]2. В данных работах был обоснован ряд прямых сплайновых методов для указанной задачи.
Целью работы является исследование задачи Коши для одного интегро- дифференциального уравнения произвольно фиксированного порядка старшей производной с точки зрения ее корректной постановки и построение вычислительных схем ряда прямых методов, основанных на использовании аппарата приближения функций алгебраическими полиномами. Для указанных вычислительных схем дается теоретико - функциональное обоснование, под которым понимается решение следующего круга задач [5]:
1) установление осуществимости и сходимости алгоритма;
2) исследование быстроты сходимости;
3) нахождение эффективной оценки погрешности.
Отметим, что исследуемая тема является актуальной, поскольку, как отмечено в работе Габдулхаева Б.Г. [1], данная задача относится к некорректным задачам в смысле Адамара. Поэтому, если эту задачу решать как некорректную, соответствующие вычислительные схемы для нахождения решения будут громоздкими. С другой стороны, исследуемая задача лишь в частных случаях решается в замкнутой форме (т.е. точно), поэтому важно построение простых вычислительных схем, которые позволяют с достаточной степенью точности находить решение задачи.
Работа состоит из двух разделов, списка литературы и насчитывает 34 страницы.
В разделе 1 "Вспомогательные результаты" приводятся известные определения и обозначения, свойства интегро-дифференциального оператора, а также результаты из теории приближения функций и функционального анализа, необходимые для дальнейшего исследования.
В разделе 2 "Решение одного класса интегро-дифференциального уравнения" дается корректная постановка задачи Коши
x(i)(—1) = 0;i = 0,m - 1,(0.5)
для интегро-дифференциального уравнения вида
Kx= x(m)(t) + / h(t; s)x(m+1)(s)ds = y(t), (0.6)
7-1
где y(t);h(t;s) — известные функции на [—1; 1] и [—1; 1]2. Для этой задачи исследуются также вопросы нахождения приближенного решения с помощью таких методов, как: Галеркина, коллокации, подобластей и механических квадратур.
Оценки погрешности приближенных решений, построенных указанными методами, даны в терминах наилучших приближений, что позволяет реагировать на дифференциальные свойства известных функций.
Купить