Тема: ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассматривается линейная задача Коши для интегро-дифференциального уравнения:
x(m)(t) + Xdk(t)x(m~k')(t) + X [ hJ(t,s)x(j')(s)ds = y(t),(0.1)
k=i j=oJ-1
x(i)(—1) = 05j = 0, m — 1, 0 < m < p, —1 < t < 1,(0.2)
где y(t),gk(t),k = 1,m, и hj(t,s),j = 0,p, — известные функции на [—1; 1] и [—1; 1]2соответственно, а x(t)— искомая функция.
При p >m > 0 (наш случай) задача является некорректно поставленной задачей в традиционных для дифференциальных уравнений парах нормированных пространств X и Yискомых элементов и правых частей соответственно [1]. Поэтому важно построить такие пары (X, Y), в которых эта задача корректна поставлена по Адамару. Не смотря на некорректность, в работе [1] дается обоснование полиномиальных методов для случая m = 0 и любого p > 1, т.е. для уравнения вида
p/> 1
x(t) + А/ q(s)hj(t,s)xj(s)ds = y(t), (0.3)
j=X-1
где q(s) - весовая функция, А - числовой параметр.
В случае условно-корректных задач обоснование некоторых из приближенных методов имеется в работе [7], однако в ней задача рассматривается в пространствах Соболева со специальными весами. В работах [3], [4] исследование задачи на корректность проведено в частном случае, когда p = 1,m = 0, т.е. для уравнения:
x(t) + [ h0(t, s)x(s)ds+ [ h1(t, s)x0(s)ds = y(t), 0 < t < 1, (0.4)
Jo Jo
где y(t), h0(t, s), hi(t, s) — известные функции на [0; 1] и [0; 1]2. В данных работах был обоснован ряд прямых сплайновых методов для указанной задачи.
Целью работы является исследование задачи Коши для одного интегро- дифференциального уравнения произвольно фиксированного порядка старшей производной с точки зрения ее корректной постановки и построение вычислительных схем ряда прямых методов, основанных на использовании аппарата приближения функций алгебраическими полиномами. Для указанных вычислительных схем дается теоретико - функциональное обоснование, под которым понимается решение следующего круга задач [5]:
1) установление осуществимости и сходимости алгоритма;
2) исследование быстроты сходимости;
3) нахождение эффективной оценки погрешности.
Отметим, что исследуемая тема является актуальной, поскольку, как отмечено в работе Габдулхаева Б.Г. [1], данная задача относится к некорректным задачам в смысле Адамара. Поэтому, если эту задачу решать как некорректную, соответствующие вычислительные схемы для нахождения решения будут громоздкими. С другой стороны, исследуемая задача лишь в частных случаях решается в замкнутой форме (т.е. точно), поэтому важно построение простых вычислительных схем, которые позволяют с достаточной степенью точности находить решение задачи.
Работа состоит из двух разделов, списка литературы и насчитывает 34 страницы.
В разделе 1 "Вспомогательные результаты" приводятся известные определения и обозначения, свойства интегро-дифференциального оператора, а также результаты из теории приближения функций и функционального анализа, необходимые для дальнейшего исследования.
В разделе 2 "Решение одного класса интегро-дифференциального уравнения" дается корректная постановка задачи Коши
x(i)(—1) = 0;i = 0,m - 1,(0.5)
для интегро-дифференциального уравнения вида
Kx= x(m)(t) + / h(t; s)x(m+1)(s)ds = y(t), (0.6)
7-1
где y(t);h(t;s) — известные функции на [—1; 1] и [—1; 1]2. Для этой задачи исследуются также вопросы нахождения приближенного решения с помощью таких методов, как: Галеркина, коллокации, подобластей и механических квадратур.
Оценки погрешности приближенных решений, построенных указанными методами, даны в терминах наилучших приближений, что позволяет реагировать на дифференциальные свойства известных функций.
Купить

В работе проведено исследование задачи Коши для одного класса интегро- дифференциальных уравнений произвольно фиксированного конечного порядка. Введены пары пространств Соболева и в них доказаны корректная постановка по Адамару исследуемой задачи. Построены вычислительные схемы четырех методов: Галеркина, коллокации, подобластей и механических квадратур, и для них проведено строгое теоретическое обоснование.
Оценки погрешности приближенных решений, построенных указанными методами, даны в терминах наилучших приближений, что позволяет реагировать на дифференциальные свойства известных функций.

Купить