Введение 3
1 Основная лемма 26
2 Формула Планшереля-Ротаха для функций Чебышева-Эрмита 36
3 Аналог формулы Планшереля-Ротаха для многочленов Якоби 56
4 Новый аналог формулы Планшереля-Ротаха для многочленов Чебышева-Яareppa 74
5 Весовые оценки для многочленов Чебышева-Эрмита и Чебышева-Яareppa 93
Заключение 105
Библиографический список использованной литературы 106
Пусть на интервале (а, Ь) определена весовая функция h(x) [8]. Тогда существует система ортонормированных многочленов
В0(х), Вг(х): В2(х),... , Вп(х),... , (1)
т.е. таких, для которых выполняются условия
ъ _ _
/ h(x)Bn(x)Bm(x)dx = 8пт,
а
где 5пт — символ Кронекера.
В теории ортогональных многочленов рассматривается случай, когда функция h(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона. Тогда многочлены (1) называются классическими [8].
Одной из ключевых задач, стоящих на пересечении теории ортогональных многочленов и теории специальных функций, является задача вычисления значения многочлена в произвольной точке на интервале ортогональности. Решение данного вопроса имеет следующие применения:
1) исследование различных видов сходимости рядов Фурье по ортогональным многочленам:
оо ^ k ^
Е апВп{х), где ап= h(x)f(x)Bn(x)dx,x G (а, Ь); (2)
п=0 а
2) вычисление значений ряда (2) в произвольной точке на интервале (а, Ь);
3) изучение асимптотики коэффициентов Фурье ап;
4) определение условий ограниченности многочленов Вп(х) в отдельной точке, или на некотором множестве внутри (а, Ь), или на всем сегменте ортогональности.
4
Возникает задача об асимптотическом поведении последовательности (1) при возрастании номера п. Для исследования асимптотических свойств ортогональных многочленов применяются различные специальные методы и приемы [7].
Асимптотические свойства классических ортогональных многочленов подробно исследуются методом Лиувилля-Стеклова, который называется также методом интегро-дифференциальных уравнений. В случае, когда для ортогональных многочленов имеют место интегральные представления, применяется метод перевала. Метод Дарбу основан на производящих функциях. Наиболее универсальным является метод Г. Сеге, который применяется в самых общих случаях.
К настоящему времени с помощью этих и других методов получено много результатов по асимптотическим свойствам ортогональных многочленов. Наиболее важные результаты получили П. Лаплас, Гейне, Мелер, Дарбу, Стилтьес, Хильб, Г. Сеге, Фейер, Перрон, Планшерель, Ротах, Ватсон. Большая часть их утверждений относится к классическим ортогональным многочленам.
В 1929-м году Планшерель и Ротах [17] с помощью метода перевала получили новые асимптотические формулы для многочленов Чебышева-Эрмита. Стандартизованные многочлены Чебышева- Эрмита могут быть определены по формуле
Н„{х) = (-1)»е*2(е-*2)М (3)
где п - степень многочлена. Планшерель и Ротах доказали следующее.
Теорема 1. Пусть е и и - фиксированные положительные числа. Справедливы следующие соотношения: (а) при х = (2п + l)1/2 cos (р, е < (р < к — е
х „ / ч П|1, 1 , , 1 , , 1
е 2 Нп(х) = 22 5(n!)2(7rn) 5(sm^) 2х
х
П 1 . . _ 0 , 37Г
—h - (sm 2(р — 2(6) Н
2 4/ V у 4
+ 0(п
(4)
(Ь) при х = (2п + l)1/2 ch
е^^Нп(х) = 22^3(n!)2(7rn)^5(sh ^)^2 х
х ехр
71 1
2+4) (2^-sh2
[1 + 0(п'
(5)
(с) при х = (2п + 1)1//2 — 2 1//23 V3n 1//6£; t - ограниченное комплексное число,
-Г-Г
е ^Н,
п
ч 1 3 П.1, „1 1 Г W ^ / 2' х) = ЗЗтГ?22+?(я!)2г;Гк M(f) + О (п~з
(6)
где A(t) - функция Эйри, определяемая по формуле
/ „3и
7Г +00 —I 7f X +°°
A{t) = lT, ±,з) Е
. (7)
3 Й) г/!Г (V + |) 3 3 i^o г/!Г (V +
i? формулах (4)~(6) оценка остаточного члена равномерна.
Многочлены (3) удовлетворяют уравнению
Ухх ~Ь 1 — % )у — 0.
(8)
Формулы (4), (5) и (6) характеризуют поведение многочленов (3) вне и вблизи точки поворота х = л/2п + 1 дифференциального уравнения (8).
Стандартизованные многочлены Чебыше
В данной работе на примере классических ортогональных много¬членов рассмотрен один из возможных способов применения принципа сжимающих отображений в теории специальных функций. Оказалось возможным получение формул Планшереля-Ротаха для многочленов Чебышева-Эрмита и новых асимптотических формул для классических ортогональных многочленов. Кроме того, эти формулы даны с численными оценками на остаточные члены, что обуславливает их вычислительную ценность.
Работа может быть продолжена в следующих направлениях:
1) Применение метода к другим специальным функциям.
2) Рассмотрение второго шага метода последовательных приближений.
3) Применение полученных формул для оценок коэффициентов рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам.
4) Уточнение оценок в лемме М.В. Федорюка.
5) Улучшение оценок остаточных членов полученных асимптотических формул (например, с помощью применения более точных оценок остаточных членов в рядах Тейлора элементарных функций или в формуле Стирлинга [18]).
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Павлу Кондратьевичу Суетину за полезные замечания и создание благоприятной научной атмосферы в процессе работы.
